2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖北卷）.doc

2013年湖北省理科数学高考试题WORD解析版一、选择题1、在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【解析与答案】，故选D【相关知识点】复数的运算2、已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D.【解析与答案】，，故选C【相关知识点】不等式的求解，集合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A. B. C. D.【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”相关知识点】命题及逻辑连接词4、将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【解析与答案】的图像向左平移个长度单位后变成，所以的最小值是相关知识点】三角函数图象及其变换5、已知，则双曲线与的（ ）A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等【解析与答案】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形6、已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. C. D.【解析与答案】，，，故选A。

相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（ ）A. B. C. D. 【解析与答案】令 ，则汽车刹车的距离是，故选C相关知识点】定积分在实际问题中的应用8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. B. C. D. 【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C【相关知识点】三视图，简单几何体体积9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为，则的均值为 A. B. C. D. 第9题图【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以相关知识点】古典概型，数学期望10、已知为常数，函数有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 【解析与答案】令得，。

又，相关知识点】函数导数与极值，函数的性质二、填空题（一）必考题11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示I）直方图中的值为 ；（II）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为 第11题图 【解析与答案】， 【相关知识点】频率分布直方图12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 否开始是结束是奇数是否输出 【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示：i12345a1051684【相关知识点】程序框图13、设，且满足：，，则 解析与答案】由柯西不等式知，结合已知条件得，从而解得， 【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ……可以推测的表达式，由此计算 。

解析与答案】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故， 【相关知识点】归纳推理，等差数列（二）选考题第15题图15、如图，圆上一点在直线上的射影为，点在半径上的射影为若，则的值为 解析与答案】由射影定理知【相关知识点】射影定理，圆幂定理16、在直角坐标系中，椭圆的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为与若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为 解析与答案】直线的方程是，作出图形借助直线的斜率可得，所以，【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆三、解答题17、在中，角，，对应的边分别是，，I）求角的大小；（II）若的面积，，求的值解析与答案】（I）由已知条件得：，解得，角（II），由余弦定理得：，【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理18、已知等比数列满足：，I）求数列的通项公式；（II）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由解析与答案】（I）由已知条件得：，又，，所以数列的通项或（II）若，，不存在这样的正整数；若，，不存在这样的正整数。

相关知识点】等比数列性质及其求和19、如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点I）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（II）设（I）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：第19题图【解析与答案】（I），，又（II）连接DF，用几何方法很快就可以得到求证这一题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差 【相关知识点】20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为I）求的值；（参考数据：若，有，，II）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆？【解析与答案】（I）（II）设配备型车辆，型车辆，运营成本为元，由已知条件得，而作出可行域，得到最优解。

所以配备型车5辆，型车12辆可使运营成本最小相关知识点】正态分布，线性规划21、如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，记，和的面积分别为和I）当直线与轴重合时，若，求的值；（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由第21题图【解析与答案】（I），解得：（舍去小于1的根）（II）设椭圆，，直线：同理可得，又和的的高相等如果存在非零实数使得，则有，即：，解得当时，，存在这样的直线；当时，，不存在这样的直线相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）22、设是正整数，为正有理数I）求函数的最小值；（II）证明：；（III）设，记为不小于的最小整数，例如，，令，求的值参考数据：，，，）证明：（I）在上单减，在上单增II）由（I）知：当时，（就是伯努利不等式了）所证不等式即为：若，则 …………①，，故①式成立若，显然成立 …………②，，故②式成立综上可得原不等式成立。

III）由（II）可知：当时， 13。