河南、江西等部分校百师联盟2025~2026学年高二上册（9月）月考数学试题（含答案）.docx

2025-2026学年河南、江西等部分校9月百师联盟高二数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知直线l的斜率为2，且过点(2,0)，则直线l的方程为(    )A. 2x−y+4=0 B. 2x−y−4=0 C. 2x+y+4=0 D. 2x+y−4=02.设直线的倾斜角为α，斜率为k.若k≥− 33，则α的取值范围是(    )A. [5π6,π) B. [0,π2)C. [0,π2)∪[5π6，π) D. [0,π2)∪(π2,5π6]3.若方程x2+y2−8x+6y+m=0表示圆，则实数m的值是(    )A. 29 B. 25 C. 16 D. 414.已知椭圆C:x28+y26=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则△PF1F2的周长为(    )A. 4 2 B. 2 2 C. 2 6 D. 6 25.已知实数x，y满足(x+2)2+y2=4，则4x+3y的取值范围为(    )A. [−18,2] B. [−2,18] C. [−10,10] D. [−10,−6]6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，且∠F1PF2为直角.若3|PF2|=4|PF1|，则椭圆C的离心率是(    )A. 35 B. 57 C. 45 D. 477.已知直线3x−4y+2=0与圆M:x2+y2+2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N:(x+1)2+(y−1)2=54的位置关系是(    )A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离8.已知点M(1,−1)，N(1,2)，且点P在直线l:4x+3y−12=0上，则下列说法错误的是(    )A. 存在点P，使得PM⊥PN B. 存在点P，使得|PM|=2|PN|C. |OP|(O为坐标原点)的最小值为125 D. |PM|+|PN|的最小值为3二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知直线l1:(2a+1)x+ay+1=0，l2:(a+2)x+ay+2=0，若l1⊥l2，则实数a的值可能是(    )A. −1 B. 0 C. −23 D. 110.已知圆C:x2+y2−4x+8y−5=0和直线l:y=2x+b，则下列说法正确的有(    )A. 当b=−3时，直线l被圆C截得的弦长为4 5B. 当b=−3时，圆C上到直线l的距离为2的点有4个C. 若直线l与圆C有公共点，则实数b的取值范围为(−5 5−8,5 5−8)D. 存在实数b，使得直线l与圆C相切11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0,b≠c)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上.若△POF2是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率可能是(    )A. 22 B. 5−12 C. 2−1 D. 3− 5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知直线l的一个法向量为l=(2,1)且过点(3,−2)，则直线l的一般式方程为          ．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=16，点P在直线2x+y+10=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为          ．14.圆D经过点A(16,0)，且与圆C:x2+y2+8x−6y=0相切于坐标原点O，则圆D的标准方程为          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知直线l:kx−y+3−2k=0(k∈R)．(1)若直线l不经过第三象限，求k的取值范围;(2)已知P(−3,8)，若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程．16.(本小题15分)根据下列条件求椭圆的标准方程．(1)焦点在x轴上，过点(1,32)，离心率e=12;(2)一个焦点为(1,0)，过点( 303,2 33);(3)短轴长为2，离心率e= 32．17.(本小题15分)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险?18.(本小题17分)已知△ABC的三个顶点分别是A(2,3)，B(1,2)，C(4,−4)．(1)求边BC上的高线AD所在直线的方程;(2)若直线l过点B，且点A，C到直线l的距离相等，求直线l的方程;(3)求△ABC的面积．19.(本小题17分)已知点P(−2,−3)和以点Q为圆心的圆(x−4)2+(y−2)2=9．(1)设倾斜角为π4的直线MP与圆Q交于A，B两点，求弦AB的长．(2)设以PQ为直径的圆为圆N，求圆N的方程．(3)设圆Q与圆N相交于C，D两点，直线PC，PD是圆Q的切线吗?为什么?(4)求直线CD的方程．参考答案1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.A 8.D 9.AC 10.ABD 11.BD 12.2x+y−4=0 13.8 14.(x−8)2+(y+6)2=100 15.解：(1)直线l的方程为k(x−2)−y+3=0，因此直线l恒过定点M(2,3)，k为直线斜率，若直线l不经过第三象限，则k⩽0．(2)由(1)知直线l恒过定点M(2,3)，P(−3,8)，当且仅当PM⊥l时，d取得最大值，此时直线PM的斜率kPM=8−3−3−2=−1，则此时直线l的斜率k=1，直线l的方程为x−y+1=0． 16.解：(1)由题意，焦点在x轴上，设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)。

已知离心率e=12，即ca=12，故c=a2，又a2=b2+c2，得a2=b2+a24，解得b2=34a2，将点(1,32)代入标准方程：12a2+(32)2b2=1，即1a2+94b2=1，将b2=34a2代入上式：1a2+9434a2=1a2+3a2=4a2=1，解得a2=4，则b2=3故椭圆标准方程为x24+y23=12)由题意，焦点为(1,0)，故焦点在x轴上，c=1，设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，且a2=b2+1，将点( 303,2 33)代入标准方程：( 303)2a2+(2 33)2b2=1，得10a2+4b2=3，又a2=b2+1，从而得10b2+1+4b2=3，解得b2=4，所以a2=4+1=5 因此椭圆标准方程为x25+y24=1，(3)短轴长为2，故2b=2，即b=1，离心率e= 32，即ca= 32，故c= 32a，由椭圆关系a2=b2+c2得：a2=1+34a2，解得a2=41.焦点在x轴上：椭圆标准方程为x24+y2=1，2.焦点在y轴上：椭圆标准方程为y24+x2=1． 17.解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4,0)．这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2+y2=4;轮船航线所在直线l的方程为x4+y3=1，即3x+4y−12=0．联立直线l与圆O的方程，得3x+4y−12=0,x2+y2=4.消去y，得25x2−72x+80=0．由△=(−72)2−4×25×80<0，可知方程组无解．所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 18.解：(1)由B(1,2)、C(4,−4)，得kBC=−4−24−1=−2，因AD⊥BC，故kAD×kBC=−1，得kAD=12。

所以AD的直线方程为y−3=12(x−2)，整理得x−2y+4=0；(2)直线l过B且A、C到l距离相等，分两种情况：①，若l//AC，kAC=−4−34−2=−72，则直线l的方程为y−2=−72(x−1)，整理得7x+2y−11=0；②l过AC的中点，求AC的中点M：M2+42,3+(−4)2=3,−12 则l的斜率：k=−12−23−1=−54∴直线l的方程为y−2=−54(x−1)，整理得5x+4y−13=0，综上，直线l的方程为7x+2y−11=0或5x+4y−13=0；(3)直线BC的方程为y−2=−4−24−1⋅(x−1)，即2x+y−4=0，点A到直线BC的距离为d=|4+3−4| 22+12=3 55，又|BC|= (1−4)2+(2+4)2=3 5，所以△ABC的面积为S=12×3 5×3 55=92; 19.解：(1)由直线MP的倾斜角为π4，故斜率k=tanπ4=1．则直线MP方程为y−(−3)=1×x−(−2)，即x−y−1=0．圆(x−4)2+(y−2)2=9的圆心为Q(4,2)，半径r=3，则圆心Q到直线MP的距离d=|4−2−1| 12+(−1)2= 22，则AB=2 r2−d2=2 32−( 22)2= 34; (2)因为点P(−2,−3)，点Q(4,2)，则PQ的中点，即圆N的圆心坐标为(1,−12)，又|PQ|= (4−(−2))2+(2−(−3))2= 61，故圆N的半径R= 612，因此，圆N的标准方程为：(x−1)2+(y+12)2=614，即x2+y2−2x+y−14=0．(3)直线PC、PD是圆Q的切线，理由如下：由题意，圆N是以PQ为直径的圆，故对于圆N上的点C，∠PCQ=90∘，又因为C在圆Q上，QC是圆Q的半径，且PC垂直于半径QC，根据圆的切线判定定理，直线PC是圆Q的切线，同理，PD也是圆Q的切线．(4)因为圆Q的方程为(x−4)2+(y−2)2=9，即x2+y2−8x−4y+11=0，又圆N的一般式方程为x2+y2−2x+y−14=0，将两圆方程相减，化简整理得6x+5y−25=0，即直线CD的方程为6x+5y−25=0． 7 / 7。