2020-2021学年北京上庄中学高三数学理联考试题含解析.docx
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2020-2021学年北京上庄中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为等差数列,为其前项和, 则（ ）A． B． C． D．参考答案：A略2. 定义在R上的函数在区间上是增函数，且的图象关于x=0对称，则（ ） A． B． C． D． 参考答案：A略3. 设为互不相同的平面,为不重合的三条直线,则的一个充分不必要条件是( ). A. B. C. D.参考答案：答案：C 4. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：A5. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（ ） A．3 B．2 C．1 D．参考答案：A试题分析：∵，∴，∵切线的斜率为，∴，∴．考点：利用导数求切线的斜率．6. 设，则为高考资源网ww-w*k&s%5￥uA． B． C． D．5 参考答案：C略7. 设曲线在点处的切线与直线平行，则 A．-1 B． C． D．1 参考答案：D略8. 已知定义在上的函数满足：，当时，． 下列四个不等关系中正确的是 （ ） A． B． C． D．参考答案：D9. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣1，4） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．（﹣4，1） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（x+1）（x﹣4）＞0，解得x＜﹣1或x＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．10. 定义在R上的函数 ，在 上是增函数，且函数 是偶函数，当，且 时，有 ( ) A. B C． D． 参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为___________．参考答案：略12. 函数的定义域为__________.参考答案：略13. (13) 某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测的元件长度 (单位：mm) 数据绘制了频率分布直方图 (如图)．若规定长度在 [97，103) 内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是 ．参考答案：80%略14. 执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是． ．参考答案：﹣9考点：程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中p输入7，可得：进入循环的条件为n＜7，即n=1，2，…，6，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当n=1时，S=0+2﹣1=1；当n=2时，S=1+2﹣2=1；当n=3时，S=1+2﹣3=0；当n=4时，S=0+2﹣4=﹣2；当n=5时，S=﹣2+2﹣5=﹣5；当n=6时，S=﹣5+2﹣6=﹣9；当n=9时，退出循环，则输出的S为：﹣9．故答案为：﹣9．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．15. 如图所示的韦恩图中，、是非空集合，定义*表示阴影部分集合.若，，，则*B= 参考答案：16. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为____________.参考答案：8略17. 已知抛物线的焦点为，准线与y轴的交点为为抛物线上的任意一点，且满足，则的取值范围是．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）设函数.(Ⅰ)用a表示;(Ⅱ)若的图象有两条与y轴垂直的切线,求实数a的取值范围;(Ⅲ)当a=2时,求在[0,3]上的最大值和最小值.参考答案：解析：19. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；（2）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计．分析：（1）求出两个班数据的平均值都为7，求出甲班的方差，乙班的方差，推出结果即可．（2）X、Y可能取0，1，2，求出概率，得到分布列，然后分别求解期望．解答： 解：（1）两个班数据的平均值都为7，甲班的方差，乙班的方差，因为，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定．（2）X可能取0，1，2，，，，所以X分布列为：X012P 数学期望Y可能取0，1，2，，，，所以Y分布列为：Y012P 数学期望．点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法．本题主要考查学生的数据处理能力．20. （本小题满分13）2014年春节期间，高速公路车辆剧增．高管局侧控中心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆进行电子测速调查，将它们的车速(km/h)分成六段「80,85），［85，90），[90，95），「95，100），［ 100 ，105）．［105,110）后得到如下图的频率分布直图。
1)测控中心在采样中，用到的是什么抽样方法？并估计这40辆车车速的中位数；(2)从车速在［80,90)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在［85,90)的车辆数为0的概率 参考答案：（1）根据“某段高速公路的车速()分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司在采样中,用到的是系统抽样方法.( 注意每间隔辆就抽取一辆这一条件)…………3分设中位数的估计值为为，则，解得，即中位数的估计值为.(注意中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值)…………6分(2)从图中可知，车速在的车辆数为（辆），分别记为；车速在车辆数为（辆），分别记为，从这辆车中随机抽取两辆共有种情况：，，， 注意穷举所有的可能结果)抽出的辆车中车速在的车辆数为的只有一种，故所求的概率.…12分21. (本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点, 是线段上一点,且.(1)求证://侧面;(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值;参考答案：解法1:(1)延长B1E交BC于点F,∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC, 从而点F为BC的中点. ∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且, 又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. …………5分(2) ∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°, 又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC. 以O为原点建立空间直角坐标系O—如图, 则,,,,,. ∵G为△ABC的重心,∴.,∴, ∴. 又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. …………6分(2)设平面B1GE的法向量为,则由得 可取 又底面ABC的一个法向量为 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则. 故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为. …………12分22. 17．（本小题满分12分）某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表： 分组频数频率[45，60）20．04[60，75）40．08[75，90）80．16[90，105）110．22[105，120）150．30[120，135）ab[135，150]40．08合计501（1）写出a、b的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．参考答案：（1）6、0.12 2分（2）成绩在120分以上的有6＋4＝10人，所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有： 人. 6分（3）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为. 12分（法二：乙可能和甲或和A分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为）。
