洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案.docx

1第 1 章 集合1、列举下列集合的元素(1) 小于 20 的素数的集合(2) 小于 5 的非负整数的集合(3) 2{|,10451}iIii且答：(1) 37,9(2) {,2}(3) 568,102、用描述法表示下列集合(1) 12345{,,}a答： |,iIi(2) {,8}答： 2|iN(3) {0,41}答： |,50iZi3、下面哪些式子是错误的？(1) 答：正确{}a(2) 答：错误(3) 答：正确{},(4) 答：正确a4、已给 和 ，指出下面哪些论断是正确的？哪些是{2,3}4S{},341Ra错误的？(1) 错误}a2(2) 正确{}aR(3) 正确,43S(4) 正确{}1(5) 错误R(6) 正确aS(7) 错误{}(8) 正确R(9) 正确{}a(10) 错误S(11) 错误R(12) 正确{3},45、 列举出集合 的例子，使其满足 ， 且,ABCABCA答： ， ，显然 ， ，显然 ，但是 {}a}{}aC6、 给出下列集合的幂集(1) ,b答：幂集 {,},{}ab(2) 答：幂集 {,},{,},{},{}aa7、设 ，给出 和 的幂集Aa2A答： 2{,}{,},{}8、 设 由 和 所表示的 的子集各是什么？应如何表示子128, 17B3A集 和2,67a3a答： 10148{,}B3310145678{,,}Ba，2,67010{}aB1310160{aB9、 设 ， ， ， ，确定集合：,U,}A,25}{,4C(1) (2) (3) (4)AB()C()()()A(5) (6) (7) (8) (9) (10)()B2CAC答：(1) ，{3,4}{4}A(2) ， ，1AB,5C(){1,35}C(3) ，2()1,2(4) ， ，{,4}{4}A()(){1,24}AB(5) (6) ，()3,5AB ,35 ,35(7) ，{1,2}C(){}BC(8) ， ，4,(9) ， ，{,},A2{,}42C， ， {1},4AC(10) 2C10、 给定自然数集 的下列子集：N， ，{1,78}A2{|50}Bi{|330}Cii可 被 整 数 ，|2,6kDiZk求下列集合：(1) ()C答： ，{1,2345,67}B，0918,247,30}{1,2486,3}D(){05689527,064ACD(2) B4(3) ()BAC解： ，{0,1236,78912,5,427,30} (){4,5}BAC(4) ()D解： ，{,4}AB(){1,5,681,32}ABD11、 给定自然数集 的下列子集N， ， ，{|12}n|8n|2,}CnkN{|,nkN|,Ek将下列集合表示为由 产生的集合：,,ABDE(1) (2) (3) (4){2,468}{39}10{|369}nn或 或(5) | 9}nn是 偶 数 且 或 是 奇 数 且(6) {|}是 的 倍 数答： ，1,2345,6789,10}A{1,2345,678}B， ，{}C {3,D E,B={369}A=10()DE(4) {|69}nn或 或 {369,102,}3,9,12()AB(5) {24805,}()()EADB(6) |6{8,430}n是 的 倍 数 C12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。

1) 若 ，则aAB5答：正确，根据集合并的定义(2) 若 ，则aAB答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须 同时属于 和aAB(3) 若 ，则 a答：正确(4) 若 ，则AB答：错误(5) 若 ，则 A答：正确(6) 若 ，则aAB答：错误(7) 若 ，则答：正确13、 设 是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理,ABC由(1) 若 ，则答：不正确，反例，设 ，则不论 是什么集合，都有 ，,BCABC但显然 不一定相等BC(2) 当且仅当 ，有 ；A答：正确，证明如下：若 ，则对 ，有 ，则有a，因此有 反之，若 ，则 显然成立aAB(3) 当且仅当 ，有B答：正确，证明如下：若 ，则对 ，因此 ，则 ，aABa则有 若 ，则 ，有 ，因此由 ，可以得出Aa，因此 ，又 ，有 a (4) 当且仅当 ，有C()AB答：不正确，因为 ，因此不一定需要满足 ，而若CAC也可以满足例如： ， ， ，AB{,}abc{,}Bde,ab成立，而 不成立)CA6(5) 当且仅当 ，有BC()AB答：不正确，因为若 ，有 成立，但是反之不成立，反例如CA下: ， ， ，而 ，{1,2345}A{1,6,2}{2,345}B，但是 不成立。

),BCB14、 设 是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由D(1) 若 ，则,ABC()ABD答：正确，证明：对 ，则 或 ，因为 ，因此aCaAC,ABD或 ，因此 ，即 成立aD()(2) 若 ，则,ABC()ABD答：正确(3)若 ， ，则D()C答：正确(4) 若 ，则,ABC()ABD答：不正确例如若 ，但是 ， ，则,ABD)D15、 设 是两个集合，问：,AB(1)如果 ，那么 和 有什么关系？AB答：因为 ，而 ，即对 有 ，因此aB,Aa(2) 如果 ，那么 和 有什么关系？AB答：充要条件是 证明：因为 的 ，AB()()B从而有 ，即 ，同理可证明 ，因此 A16、 设 是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由7(1) 2ABB答：不正确例如 ， ，则{,}ab,c{,}ABabc{,}, {,}ABacab，2b2,Bc显然 不成立AB(2) 答：成立证明：对 ，则 且 ，则 ，则ABC2ABC,ACB，因此 。

反之，若 ，则 ，则 且C2，因此 ，且 ，因此 ，即 BABAB2ABB(3) 2()A答：显然不成立，因为左边集合肯定含有 ，而右边不含有17、 在一个班级的 50 个学生中，有 26 人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩；21 人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩假如有 17 人在两次考试中都没有取得优秀成绩，问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?答：分别用 表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合，,AB表示全体学生集合：则 ， ， ，则两U#()26A()1B#()50173AB次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为 26+21-33=14 人18、 设 是任意集合，运用成员表证明：,ABC(1) ()()()()AB 证明： ABCACB左边 右边0 0 0 1 1 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 1 0 0 0 01 0 1 0 1 1 1 0 1 11 1 0 0 0 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1 1 0 1 18(3) ()()()ABCAC证明： ()()BAC()ABC0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 00 1 1 0 0 0 1 01 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 0 0 1 01 1 0 0 1 0 1 01 1 1 0 0 0 1 0由上得证左右两边相等。

19、由 和 的成员表如何判断 ？应用成员表证明或否定 STST()()ABCAB答：先分别给出集合 和 的成员表如下：ABCBC()()()ABCBA0 0 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 0 1 00 1 0 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 0 0 1 11 1 0 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 0 0 0 0观察上述表格，我们发现 所标记的列中，仅在第五列为 1，这()()ABC意味着当元素 且 时， ，而在其他情形下，,uu()AB元素 而集合 所标记的列中，第五和第六行均为()()ABC1，这意味着 且 时， ，当 ，且 时，, ,uuC也有 所以当元素 时也有 ，反之不然，u()()uABCAB因此 成立)()ABC920、 为 的子集， 至多能产生多少不同的子集？12,,rA U12,,rA答：构造由 所产生的集合的成员表，显然该成员表由 个行所组成r 2r在该成员表中不同的列可由 为的二进制数 000 0~1111 1 分别表示，而不r  同的列所标记的集合 不相同的，因此由 至多可以产生 个不同的12,,rA 2r集合。

21、证明分配律、等幂律和吸收律 91 分配律 ()()()ABCC证明：对 ，则有 且 ，即有 ，且 或aaABaAB，也即有 或 ，即 ，因此左边 右()()C边对 ，则 或 ，即 且 ，()()aABCaa或 且 ，即有 或 ，因此 ，因此右边 左B()AB边2 吸收律 ()证明： 显然成立，对 ，则显然有 ，因此有ABaa，因此有 成立)a()AB22、设 是任意集合，运用集合运算定律证明：,C(1) ()BAU证明：()()()BABU 左 边 右 边(2) ()()()()()()ABCCA证明： ()()())ABA左 边 右 边10(3) ()()()()()()ABCABACB证明：()()()()()()()()BAABCC右 边由上题的证明可知左边=右边，得证23、用得摩根定律证明 补集是()()ABC)()ABC证明：()()()()(ABC24、设 为某些实数的集合，定义为iA0{|1}|(,2)iai试证明： 01iA证明：设 ，则比存在整数 ，使得 ，因此有 ，于是 ,1iakkaA1aka因此 。

另一方面，设 ，则有 ，若 ，则有 ，因此0A0aA101A若 ，则令 ， ，令 ，其中表1iabbkb11示 的整数部分，则有 ，因此 ，即 ，于是1b1kb1akbkaA，因此得证1iaA25、设 是集合 的一个分划，试证明 中所2{,,}r A12,,rABAB有非空集合构成 的一个分划B证明：因为 是集合 的一个分划，因此由分划的定义，可得12,,rA，且 ，而 ，且1ri,ijij()(),ijABij，因此 中所有11()()(rri iiAB分 配 律 )12,,rAB非空集合构成 的一个分划26、 个元素的集合，有多少中不同的方法可以分划成两块？n答：当 奇数时有 种不同的方法，当 为偶数时有1212nnC n种不同的方法12/2nC第 2 章 关系1、若 , ，确定集合：{01}A,B(1) 。