(完整word版)等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版).doc

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比2、通项公式：，首项：；公比：推广：3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列是等比数列4、等比数列的前项和公式：（1）当时，（2）当时，（为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列（2）等比中项：为等比数列（3）通项公式：为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有3）若，则特别的，当时，得 注：等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义递推公式；；通项公式（）中项（）（）前项和重要性质经典例题透析类型一：等比数列的通项公式 例1．等比数列中，, ,求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.解析：法一：设此数列公比为，则由(2)得：..........(3) ∴.由(1)得： , ∴ ......(4)(3)÷(4)得：， ∴,解得或当时，，；当时，，.法二：∵,又, ∴、为方程的两实数根， ∴ 或 ∵, ∴或.总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。

答案】±96法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值答案】64；∵，又an＞0，∴a45=4∴变式3】已知等比数列，若，，求答案】或；法一：∵，∴，∴从而解之得，或，当时，；当时，法二：由等比数列的定义知，代入已知得将代入（1）得，解得或由（2）得或 ，以下同方法一类型二：等比数列的前n项和公式例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.由得，，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q3≠1，故，所以举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和答案】；∵，，∴变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】；∵，，则a1=1或a1=9∴.【变式3】在等比数列中，，，，求和。

答案】或2，；∵，∴解方程组，得 或①将代入，得，由，解得；②将代入，得，由，解得∴或2，类型三：等比数列的性质例3. 等比数列中，若,求.解析： ∵是等比数列，∴∴ 举一反三：【变式1】正项等比数列中，若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________.【答案】100；∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100)而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51 ∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________答案】216；法一：设这个等比数列为，其公比为，∵，，∴，∴法二：设这个等比数列为，公比为，则，，加入的三项分别为，，，由题意，，也成等比数列，∴，故，∴类型四：等比数列前n项和公式的性质例4．在等比数列中，已知，，求思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。

解析：法一：令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+……+an,b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an)，b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)易知b1,b2,b3成等比数列，∴，∴S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：∵，∴，由已知得②÷①得，即 ③③代入①得，∴法三：∵为等比数列，∴，，也成等比数列，∴，∴举一反三：【变式1】等比数列中，公比q=2, S4=1,则S8=___________.【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×(1+24)=17【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【答案】130；法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20) 即302=10(S30-40),∴S30=130.法二：∵2S10≠S20，∴, ∵,,∴∴,∴∴ .【变式3】等比数列的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.【答案】∵ ，∴(否则)∴=80 ........(1)=6560.........(2)，(2)÷(1)得：1+qn=82,∴qn=81......(3)∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1∴{an}为递增数列，∴an为最大项54.∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q,∴81a1=54q..........(4)∴代入(1)得，∴q=3,∴n=4.【变式4】等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知：b1, b2, b3成等比数列，∴b3===4,即a5+a6=4.【变式5】等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。

答案】448；∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8, ∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.∴由(2)得a=...........(3)由(1)得32a=d2+32d ..........(4)(3)代(4)消a，解得或d=8.∴当时,；当d=8时,a=10∴原来三个数为,,或2,10,50.法二：设原来三个数为a, aq, aq2，则a, aq,aq2-32成等差数列，a, aq-4, aq2-32成等比数列∴由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13当q=5时a=2；当q=13时.∴原来三个数为2，10，50或，,.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。

一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x, xy但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为2，6，18或；设所求的等比数列为a，aq，aq2；则 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或，q=-5；故所求的等比数列为2，6，18或.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数答案】1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1设这三个数分别为，由已知得得，所以或，即或故所求三个数为：1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x∴由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)∴144-24y+y2=-3y2+28y, ∴4y2-52y+144=0, ∴y2-13y+36=0, ∴ y=4或9，∴ x=0或15，∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？思路点拨：由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断{an}类型.解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+), ∴a1=S1=51-1=4,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1, ∴n∈N+时，an=4×5n-1由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。

答案】p=2或p=3；∵{Cn+1-pCn}是等比数列，∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]整理得：,解得：p=2或p=3,显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，C。