第五章 5.3第3课时高考数学〔理〕黄金配套练习一、选择题1．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，那么以下结论中正确的选项是( )A．|a|＝|b| B．a·b＝C．a－b与b垂直 D．a∥b答案 C解析 由题知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．2．假设a＝(2,3)，b＝(－4,7)，假设|c|＝，且a·b＝a·c，那么c＝( )A．(－4,7) B．(－5,1)C．(5,1) D．(2,4)答案 C解析 设c＝(x，y)，|c|＝，∴x2＋y2＝26①∵a·b＝a·c，∴2×(－4)＋3×7＝2x＋3y②联立①②，解之得3．|a|＝3，|b|＝2，＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为( )A. B.C. D.答案 C解析 由可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0⇒3m·32＋(5m－3)·3×2·cos60°－5×22＝0，解之得m＝4．O为△ABC的内切圆圆心，AB＝5，BC＝4，CA＝3，以下结论正确的选项是( )A.·<·<·B.·>·>·C.·＝·＝·D.·<·＝·答案 A解析 如图，A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，O(1,1)，那么＝(－1,2)，＝(3，－1)，＝(－1，－1)，·＝－5，·＝－1，·＝－25．假设向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，那么实数m的值为( )A．－ B.C．2 D．6答案 D解析 依题意得6－m＝0，m＝6，选D.6．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，那么〈a，b〉＝( )A．150° B．120°C．60° D．30°答案 B解析 设|a|＝m(m>0)，那么由a＋b＝c得(a＋b)2＝c2,2m2＋2m2cos〈a，b〉＝m2，cos〈a，b〉＝－.又0°≤〈a，b〉≤180°，因此〈a，b〉＝120°，选B.7．平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，那么·＋·＋·的值等于( )A．25 B．24C．－25 D．－24答案 C解析 ∵||＝3，||＝4，||＝5，∴||2＝||2＋||2，故∠B＝90°.那么有·＝0.由·＝||||cos(π－C)＝4×5×(－)＝－16，·＝||||cos(π－A)＝5×3×(－)＝－9，那么原式＝0＋(－16)＋(－9)＝－25.8．O为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足(－)·(－)＝0，那么点P的轨迹一定过△ABC的( )A．外心 B．内心C．重心 D．垂心答案 D二、填空题9．在△OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，假设OM＝2，那么·(＋)＝________.答案 －2解析 如图，延长NM到点C，使得MC＝NM.连接AC、BC.根据向量的几何运算法那么，可得＋＝＝，而＝－，所以·(＋)＝－||2＝－2.10．向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，那么b等于________．答案 (，)解析 令b＝(x，y)，注：也可设b＝(cosθ，sinθ)，那么将②代入①知x2＋(－x)2＝1⇒x2＋3－6x＋3x2－1＝0，解得x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝⇒y＝.11．假设向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，那么向量a的模为________．答案 6解析 ∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝612．||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，那么＝________.答案 3解析 方法一 如下图，∵·＝0，∴⊥.不妨设||＝2，过C作⊥于D，⊥于E，那么四边形ODCE是矩形，＝＋＝＋.∵||＝2，∠COD＝30°，∴||＝1，||＝.又∵||＝，||＝1，故＝ ，＝，∴＝ ＋，此时m＝，n＝，∴＝＝3.方法二 由·＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，那么可知＝(1,0)，＝(0，)，又由＝m＋n，可知＝(m，n)，故由tan30°＝＝，可知＝313．向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，那么|a－b|＝________答案 解析 因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×1×2cos 60°＋22＝3，故|a－b|＝.三、解答题14．|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|；(3)假设＝a，＝b，作△ABC，求△ABC的面积．解析 (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，∴cosθ＝＝＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.同理，|a－b|＝＝，(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．由(1)知∠BAC＝θ＝120°，||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC ＝×3×4×sin120°＝315．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，假设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．解析 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－71(k∈R)，求k的取值范围．解析 (1)证明 ∵(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a|·|c|·cos120°－|b|·|c|·cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.(2)解析 |ka＋b＋c|>1⇔|ka＋b＋c|2>1，⇔k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c的夹角均为120°，∴a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝a·c＝－，∴k2－2k>0，∴k>2或k<0拓展练习·自助餐1．a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，那么|c|的最大值是________．答案 解析 解法一：由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0.又(a－c)·(b－c)＝0，所以|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，其中θ是c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ.又θ∈[0，π]，所以|c|的最大值是.故填.解法二：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，那么a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)．又(a－c)·(b－c)＝0，所以(1－x)·(－x)－y(1－y)＝0，从而得到圆：(x－)2＋(y－)2＝，所以向量c的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆上．又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以|c|的最大值是.故填.解法三：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．又a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c为其对角线．所以当c是直径时，|c|到达最大值，这时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值是.故填.2．定义平面向量之间的一种运算“⊙〞如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的选项是( )A．假设a与b共线，那么a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2答案 B解析 根据题意可知假设a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A正确．因为a⊙b＝mq－np，那么b⊙a＝np－mq，故二者不等，所以B错误．对于任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，所以C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确，应选B.3．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，假设AM＝2，那么·(＋)的最小值是________．答案 －2解析 解法一 如下图，由题易得⇒·(＋)＝·2＝2||||·cos180°＝－2||||.又∵||＋||＝2，∴||||≤()2＝1(当且仅当||＝||时取等号)．∴·(＋)＝－2||||≥－2，即O为AM中点时，·(＋)取最小值为－2.解法二 令||＝x且0≤x≤2，那么||＝2－x.·(＋)＝·2＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴·(＋)的最小值为－2.4．a是平面内的单位向量，假设b满足b·(a－b)＝0，那么|b|的取值范围是________．答案 [0,1]5．如图，P是△AOB所在平面一点，向量＝a，＝b，且P点段AB的垂直平分线上，向量＝c，假设|a|＝2，|b|＝1，那么c·(a－b)的值为A. B．1C. D．2答案 C解析 设线段AB的垂直直平分线与AB的交点为C，连接OC，那么c·(a－b)＝·＝(＋)·＝·＋·＝(a＋b)·(a－b)＝(|a|2－|b|2)＝.应选C.。
