2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习36：三点共线.pdf

中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（36）三点共线一、内容提要1. 要证明 A，B，C三点在同一直线上，常用方法有：连结 AB ，BC证明 ABC是平角连结 AB ，AC证明 AB ，AC重合连结 AB ，BC ，AC证明AB BC AC 连结并延长 AB证明延长线经过点C 2. 证明三点共线常用的定理有： 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 两圆相切，切点在连心线上 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上二、例题例 1. 已知：梯形 ABCD 中，AB CD ，点 P是形内的任一点， PM AB ，PN CD 求证： M ，N ，P三点在同一直线上证明：过点 P作 EFAB ，AB CD ，EF CD 12180 ，34180PM AB ，PN CD 190 ，39013180M ，N，P三点在同一直线上例 2. 求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上已知：平行四边形 ABCD 中，M ，N分别是 AD和 BC的中点， O是 AC和 BD的交点求证：M ，O ，N三点在同一直线上证明一：连结 MO ，NO 4321ABCDFENMPOABCDMN精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - MO ，NO分别是 DAB和CAB 的中位线MO AB ，NO AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行M ，O ，N三点在同一直线上证明二：连结 MO 并延长交 BC于 N，MO 是DAB的中位线MO AB 在CAB 中AO OC ，ON，AB BN，N，C，即 N，是 BC的中点N也是 BC的中点，点 N，和点 N重合M ，O ，N三点在同一直线上例 3. 已知：梯形 ABCD 中，AB CD ，AB90 ，M ，N分别是 AB和 CD的中点， BC ，AD的延长线相交于 P 求证：M ，N，P三点在同一直线上证明： AB90 ，APB Rt连结 PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质PM MA MB ，PN DN DC MPB B，NPC B PM 和 PN重合M ，N，P三点在同一直线上例 4. 在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证 B和 C是关于原点 O的对称点 Y 解：连结 OA ，OB ，OC A，B关于 X轴对称，C A OA OB ，AOX BOX 同理 OC OA ，AOY COY N,OABCDMNABPCDMN精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - COY BOX 90O X B，O ，C 三点在同一直线上OB OC B和 C是关于原点 O的对称点B 例 5. 已知： O1和O2相交于 A，B两点，过点 B的直线 EF分别交 O1和O2于 E，F。

求证：AE ，AF和O1和O2的直径成比例证明：作 O1和O2的直径 AM ，AN ，连结 AB ，BM ，BN AM ，AN分别是 O1和O2的直径ABM Rt， ABN RtM ，B，N在同一直线上M E，N F AMN AEF AFANAEAM三、练习 36 1. 已知：梯形 ABCD 中，AB CD ，M ，N，P分别是 AD ，BC ，AC的中点求证： M ，N ，P三点在同一直线上2. 已知： ABC 中，BE ，CF是中线，延长 BE到 G ，使 EG BE ，延长 CF到 H，使 FH CF ，求证： G ，A，H三点共线3. 已知：正方形 ABCD 中，M ，N分别是 BC ，CD的中点， DE AN于 E，求证：点 M在 DE的延长线上（同 33 第 5）4. 求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上5. 已知：梯形 ABCD 中，AB CD ，A和D的平分线相交于 O ，求证：点 O在梯形的中位线上6. 已知： ABC 中， ABM ，ACN分别是 B，C的邻补角，从点A作B，C ，ABM ，CAN四个角平分线的垂线段AD ，AE ，AF ，AG ，垂足是 D ，E，F，G 求证： D，E，F，G四点在同一直线上7. 已知：点 P在等边 ABC外，PA=PB+PC，以 PA为一边作等边 APQ 使点 Q和点 C在 PA的同一侧求证： PQ必过点 C O2O1ABFEMN精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 8. 已知： ABC 中，AB=AC ，直线 AP BC ，点 D和点 C是关于直线 AP的对称点求证：点 D和点 B是关于点 A 的对称点练习 36 参考答案：1. 连结 MP ，NP证明都与 AB平行2. 连结 AG ，AH证明都与 BC平行3. 连结 DM证明 DM AN 5. 证明 MP平行于底边6.根据中位线性质，垂足连线平行于底边7.连结 CQ ，证明 AQC 608.证明DAP PAC CAB 180精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 。