二阶和三阶行列式.doc

第二章 行列式本章说明与要求 :行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的， 它性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组 (克拉默法则 )．本章的重点是行列式的计算， 要求在理解 n 阶行列式的概念， 掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的 n 阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行 (列) 展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形， 使行列式中出现较多的零和公因式， 从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组 ( 克拉默法则 )．要掌握克拉默法则并注意克拉默法则应用的条件．本章的重点 ：行列式性质；行列式的计算本章的难点 ：行列式性质；高阶行列式的计算；克拉默法则§ 2.1 二阶和三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组a11 x1a12 x1b1(1)a21x1a22 x2b2用加减消元法容易求出未知量x1， x2 的值，当 a11a22 –a12a21≠ 0时，有x1b1a22 a12b2a11a22 a12 a21(2)a11b2 b1 a21x2a11a22 a12 a21这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示 (2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称 4 个数组成的符号a11 a12a21 a22a11a22 a12a21为二阶行列式． 它含有两行， 两列．横的叫行， 纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素． 从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线 )上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线 (又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知 (2) 中的两个分子可分别写成b1a22a12 b2b1a12 ， a11 b2b1a21a11b1 ，b2a22a21b2a11a12b1a12a11b如果记 D， D 1， D 21b2a 21b2a 21a 22a22则当 D ≠0 时，方程组 (1)的解 (2)可以表示成b1a12a11b1D1b2a22， x 2D 2a 21b2，(3)x1a11a12Da11a12Da21a22a21a22象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先 (3) 中分母的行列式是从 (1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式， x1 的分子是把系数行列式中的第 1 列换成 (1)的常数项得到的，而 x2 的分子则是把系数行列式的第 2 列换成常数项而得到的．例 1 用二阶行列式解线性方程组2x1 4x2 1x1 3x2 2解：这时D242 34120，13D 114134221235，D222113，12因此，方程组的解是x1D 15 ， x2D 23 ，D2D2对于三元一次线性方程组a11 x1a12 x2a13 x3b1a21x1a22 x2a23x3b2(4)a31x1a32 x2a33 x3b3作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号a11a12a13a21a 22a23a11a22 a33a12 a23 a31a13 a21a32(5)a31a32a33a11a 23a32a12 a21a33a13a22 a31为三阶行列式， 它有三行三列， 是六项的代数和． 这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例 2212431235235112(4)322321(4)5231302241220610令a11a12a 13Da21a 22a 23a31a32a 33b1a12a13a11b1a13a11a12b1D1b2a22a23 ， D 2a21b2a23， D 3a21a22b2 ．b3a32a33a31b3a33a31a32b3当 D ≠0 时， (4)的解可简单地表示成x1D1， x 2D 2， x 3D 3(6)DDD它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例 3 解线性方程组2x1x2x303x12x25x31x13x22x34211011解：D32528，D1 1 2513 ，132432201210D 23 15 47， D332 121．142134所以， x1D113，x2D 247 ，x3D 3213 ．DD28D28284ab0例 4已知ba00 ，问 a， b 应满足什么条件？(其中 a， b 均为实数 )．101ab0解：ba0a 2b 2 ，若要 a2+b2=0，则 a 与 b 须同时等于零． 因此，当 a=0 且 b=0101时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入 n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．思考题：当 a、b 为何值时，行列式a bD a2 b2 0 ．。