湖南省邵阳、郴州部分学校2026届高三上学期期中考试数学试卷（含答案）.docx

湖南省邵阳、郴州部分学校2026届高三上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数z=6i(1−i)的虚部为(    )A. 6 B. −6 C. 6i D. −6i2.函数f(x)=lnx+1x−6的定义域为(    )A. [0,+∞) B. (0,+∞)C. (−∞,6)∪(6,+∞) D. (0,6)∪(6,+∞)3.已知集合A={x|x2<6}，B={x|x>2或x<0}，则(    )A. B⊆A B. A⊆B C. A∪B=R D. A∩B=⌀4.已知平面向量a，b是单位向量，则“a，b是相等向量”是“a，b的方向相同”的(    )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件5.吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系式为r=33V4π，则r关于V的瞬时变化率为(    )A. 13⋅(3V4π)−23 B. 14π⋅(3V4π)−23 C. 13⋅(3V4π)23 D. 14π⋅(3V4π)236.已知等比数列{an}的公比大于1，且a2a7=(6+a6)a1，则a10的最小值为(    )A. 20 B. 22 C. 24 D. 387.已知a=78，b=cos12，c=2sin12，则(    )A. c>b>a B. c>a>b C. a>c>b D. a>b>c8.已知a>b>0，则6a2+1b(a−b)的最小值为(    )A. 6 B. 6 C. 2 6 D. 4 6二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.若{an}是等差数列，且a1<00 B. a1+a3>0C. a3> a2a4 D. (a2−a1)(a2−a3)>010.已知函数f(x)= 1−x+x，则(    )A. f(x)的定义域为(−∞,1]B. f(x)的值域为RC. ∀x∈(−∞,0)，f(x)<1D. f(x)有且仅有一个零点，且该零点为−1− 5211.已知平面向量a，b，c满足|a|=2，a⋅b=2，(a+b)⊥(a−b)，且c2−3a⋅c+8=0，则(    )A. |c|的最小值为2 B. |c|的最大值为4C. b⋅c的最小值为12 D. b⋅c的最大值为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知函数f(x)=x2−2ax+a在[0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是          ．13.已知α∈(0,π)，且cos2α=2sin2α+1，则tanα=          ．14.已知函数f(x)=|sinx+ax+b|，若对任意a，b∈R，存在x∈[0,π]，使得不等式f(x)≥m成立，则m的最大值为          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式;(2)求使f(x)=1成立的x的取值集合．16.(本小题15分)已知函数f(x)=xcosx−sinx.(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由;(2)求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;(3)求f(x)的单调区间．17.(本小题15分)在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD=2，∠ADC=π4．(1)若∠ACB=π2，求sin∠BAD的值．(2)设AD平分∠BAC． ①求ACAB; ②求△ABC的面积．18.(本小题17分)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1，设bn=1an，将数列{bn}的项按照如下规律分群：(b1)，(b2,b3)，(b4,b5,b6)，(b7,b8,b9,b10)，⋯．(1)求{bn}的通项公式;(2)设第n个群中所有项的和为Sn．(ⅰ)求Sn;(ⅱ)设cn=Snn⋅2n，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn<6．19.(本小题17分)(1)证明：lnx≥1−1x．(2)证明：若函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(1x)在(1,+∞)上单调递减．(3)证明：10，所以ω= 2．由f(π3)=0，得2sin(2×π3+φ)=0，所以2×π3+φ=kπ，k∈Z，解得φ=−2π3+kπ，k∈Z.因为|φ|<π2，所以φ=π3．故f(x)=2sin(2x+π3).(2)由f(x)=1，可得sin(2x+π3)=12，所以2x+π3=5π6+2kπ或2x+π3=π6+2kπ，k∈Z，解得x=π4+kπ或x=−π12+kπ，k∈Z.故x的取值集合为{x|x=π4+kπ或x=−π12+kπ，k∈Z}． 16.解：(1)f(x)是奇函数．理由如下：f(x)的定义域为R．f(x)+f(−x)=xcosx−sinx+[−xcos(−x)−sin(−x)]=xcosx−sinx−xcosx+sinx=0，所以f(x)是奇函数．(2)f(0)=0．f′(x)=−xsinx，f′(0)=0．故曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=0．(3)当x>0时，令f′(x)≥0，解得π+2kπ≤x≤2π+2kπ，k∈N.令f′(x)≤0，解得2kπ≤x≤π+2kπ，k∈N.当x<0时，令f′(x)≥0，解得−2π+2kπ≤x≤−π+2kπ，k∈Z，且k≤0.令f′(x)≤0，解得−π+2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，且k≤0.故f(x)在[−π,π]，[2kπ,π+2kπ](k∈N+)，[−π+2kπ,2kπ](k∈Z，且k<0)上单调递减，在[π+2kπ,2π+2kπ](k∈N)，[−2π+2kπ,−π+2kπ](k∈Z，且k≤0)上单调递增． 17.解：(1)由题意可得，△ACD是等腰直角三角形，所以AC=CD=1．在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 10．在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=ABsin∠BDA，所以2sin∠BAD= 10sin3π4，解得sin∠BAD= 55．(2) ①因为BD=2CD，所以S△ABD=2S△ADC．因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，sin∠BAD=sin∠CAD．因为S△ABD=12AB⋅ADsin∠BAD，S△ADC=12AC⋅ADsin∠CAD，所以12AB⋅ADsin∠BAD=2⋅12AC⋅ADsin∠CAD，即ACAB=12． ②在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB，AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos∠ADC，所以4AC2=AD2+4+2 2AD，AC2=AD2+1− 2AD，解得AD=2 2，AC= 5．S△ADC=12AD⋅CDsin∠ADC=1，S△ABC=3S△ADC=3． 18.(1) 由题意，a1=1，故b1=1a1=1。

对递推式an+1=an2an+1两边取倒数，得：1an+1=2an+1an=2+1an 即bn+1=bn+2因此{bn}是首项为1、公差为2的等差数列，故通项公式为：bn=1+(n−1)×2=2n−1 (2)(ⅰ) ：第k个群含k项，前n−1个群的项数和为：1+2+⋯+(n−1)=n(n−1)2 因此第n个群的首项为bn(n−1)2+1，末项为bn(n−1)2+n=bn(n+1)2由于{bn}是等差数列(公差2)，代入通项公式得：首项：bn(n−1)2+1=2×n(n−1)2+1−1=n2−n+1 末项：bn(n+1)2=2×n(n+1)2−1=n2+n−1 第n个群含n项，故群内和为：Sn=n×首项+末项2=n×(n2−n+1)+(n2+n−1)2=n×2n22=n3 (2)(ⅱ) 证明：由(i)知，Sn=n3，则cn=n3n⋅2n=n22n．Tn=c1+c2+⋯+cn=1221+2222+3223+⋯+n22n， ①12Tn=1222+2223+3224+⋯+(n−1)22n+n22n+1， ② ①− ②得12Tn=12+22−1222+32−2223+⋯+n2−(n−1)22n−n22n+1，=12+322+523+⋯+2n−12n−n22n+1．记Pn=12+322+523+⋯+2n−12n， ③则12Pn=122+323+⋯+2n−32n+2n−12n+1， ④ ③− ④得12Pn=12+2(122+123+⋯+12n)−2n−12n+1=12+2×14×[1−(12)n−1]−2n−12n+1=32−2n+32n+1，所以Pn=3−2n+32n． 12Tn=Pn−n22n+1=3−2n+32n−n22n+1=3−n2+4n+62n+1，Tn=6−n2+4n+62n．因为n2+4n+62n>0，所以Tn=6−n2+4n+62n<6，得证． 19.证明：(1)令函数g(x)=lnx−1+1x，则g′(x)=x−1x2．当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故g(x)≥g(1)=0，所以lnx≥1−1x．(2)令x2>x1>1，则0<1x2<1x1<1．因为f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(1x2)1−1x+1>0(x>0)，所以ln(x+1)x>1x(1−1x+1)，ln(1x+1)>1−11x+1=1−x1+x>0(x>0)，所以xln(1x+1)>x(1−x1+x)，所以ln(x+1)x+xln(1x+1)>1x(1−1x+1)+x(1−x1+x)=1．h′(x)=ln(1x+1)−2x+1+1x−ln(x+1)x2．令函数u(x)=ln(1x+1)−2x+1+1x−ln(x+1)x2，则u′(x)=2ln(x+1)−4x2+2x(x+1)2x3．令函数v(x)=2ln(x+1)−4x2+2x(x+1)2，则v′(x)=2x(x−1)(x+1)3．当x∈(0,1)时，v′(x)<0，所以v(x)在(0,1)上单调递减．v(0)=0，所以当x∈(0,1)时，v(x)<0，即当x∈(0,1)时，u′(x)<0，所以u(x)在(0,1)上单调递减．u(1)=0，所以当x∈(0,1)时，u(x)>0，即当x∈(0,1)时，h′(x)>0，所以h(x)在(0,1)上单调递增．由(2)可得，函数h(1x)在(1,+∞)上单调递减，即h(x)在(1,+∞)上单调递减，所以h(x)≤h(1)=2ln2，即ln(x+1)x+xln。