平稳随机过程的采样和插值.pdf

随机信号实验平稳随机过程的采样和插值2 一 ．实验目的了解确定信号的采样与平稳随机信号的采样之间的关系，掌握信号的采样及分析方法二 . 实验原理确定信号的采样符合香农定理，那么随机信号的采样是否符合香农定理呢？答案是定的香农定理可以推广到随机信号的采样若X(t) 为平稳随机过程，且具有零均值，它的功率谱密度)(xS限于（ -c，+c）之间当满足条件 cf21T时，便可将 X(t) 按它的振幅样本展开为：NNnccNntntnTXtX)sin()()(lim上式就是平稳随机过程的采样定理式中T为采样周期三．实验任务与要求⑴程序用 matlab 或 c/c++ 语言编写和仿真系统框图如图29、图 30 所示：低通滤波器抽样x(t)a点b点图 29 抽样系统框图低通滤波器插值x(t)a点b点图 30 插值系统框图⑵输入信号x(t) ：x(t)= 正弦波信号 +n(t) ，频率为 100Hz的正弦波信号， 幅值为 1v，n(t) 为白噪声计算输入信号的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度、相关函数⑶低通滤波器设计低通滤波器技术要求：通带截止频率1KHz 阻带截止频率2KHz 。

过渡带 :1KHz 阻带衰减： >35DB 3 通带衰减： <1DB 采样频率：≤44.1KHz 计算经低通滤波器后信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数⑷对输入信号进行抽样：采样频率8000Hz每间隔4 个点和每间隔8个点各抽样一次计算抽样信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数⑸对采样信号进行插值：每一个间隔插入4 个值和每一个间隔插入8 个值采样频率8000Hz计算插值信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数⑹对采样前后、 插值前插值后信号进行比较观察在采样频率不变的情况下，信号频谱的变化和频谱的周期延拓性⑺讨论 X(n) 的自相关函数、 功率谱密度与 X(t) 的自相关函数、 功率谱密度之间的关系四．实验步骤及结果1．输入信号x(t) （1）x(t)=正弦波信号 +n(t) ，频率为100Hz的正弦波信号，幅值为1v，其中 n（t ）为高斯白噪声Fs=40000;Ns=5000;n=0:Ns-1;t=n/Fs;两点间距取 1/40000，共取 N=5000 个采样点,n 为长度为 N的序列， t 为采样时间， 作为信号图像横坐标sine=sin(2*pi*100*t); 产生频率为 100hz 的正弦波noise=randn(1,length(t)); 产生高斯白噪声x=sine+noise; 信号合成为输入信号figure(1); plot(t,x); xlabel('t'),ylabel('x');title(' 输入信号 ' ); 4 产生的输入信号如下：（2）计算输入信号的均值、均方值、方差均值 : x_mean = 0.0072 均方值 : x_var = 1.4747 方差： input_fangcha =1.4748 （3） x(t)的相关函数利用 MALTLAB 中的xcorr函数x_xcorr=xcorr(x); t1=(-Ns+1:Ns-1)/Fs;%相关函数图像横坐标figure(2); plot(t1,x_xcorr);%相关函数xlabel('t'),ylabel('R'); title('输入信号相关函数'); 00.020.040.060.080.10.120.14-5-4-3-2-1012345tx输 入 信 号-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15-4000-200002000400060008000tR输 入 信 号 相 关 函 数5 （4） x(t)的概率密度利用ksdensity函数[F1,y1]=ksdensity(x);%y1为输入信号所有取值，F1 为每个值相应概率figure(3); plot(y1,F1);%概率密度xlabel('y'),ylabel('F'); title('输入信号概率密度'); （5） x(t)的频谱利用 fft函数x_spectra=fft(x); f=Fs*n/Ns;% 频域横坐标figure(4); plot(f(1:300),abs(x_spectra(1:300))); xlabel('f'),ylabel('Y'); title('输入信号频谱 '); -6-4-2024600.050.10.150.20.250.30.35yF输 入 信 号 概 率 密 度0500100015002000250002004006008001000120014001600fY输 入 信 号 频 谱6 （6） x(t)的功率谱密度用功率谱的概念求，即频谱函数的平方求时间平均。

P1=x_spectra.*conj(x_spectra)/Ns;%频谱函数的平方求时间平均figure(5); plot(f(1:300),abs(P1(1:300)));%功率谱密度xlabel('f'),ylabel('S'); title('输入信号功率谱密度') 2．滤波器的设计设计思路是：用巴特沃斯模拟滤波器生成数字滤波器，并画出滤波器的频谱程序如下：fp=1000;fs=2000; rp=1;rs=35; Fs1=40000; wp=2*pi*fp/Fs1; ws=2*pi*fs/Fs1; wap=tan(wp/2); was=tan(ws/2); Fs1=Fs1/Fs1; [N,Wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s'); [z,p,k]=buttap(N); 050010001500200025000100200300400500600fS输 入 信 号 功 率 谱 密 度7 [bp,ap]=zp2tf(z,p,k);%得到传输函数[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap);%低通到低通，频谱变换[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs1/2); %将模拟滤波器传递函数转为数字滤波器传递函数[H,w]=freqz(bz,az,256,Fs1*10000);%特性分析figure(6) plot(w,abs(H));%画出数字滤波器的波形图title('低通滤波器的频谱'); xlabel('f/hz'); grid on; 3．x(t)通过滤波器的信号y （1）输出 y的波形及均值，均方值，方差y=filter(bz,az,x) 050010001500200025003000350040004500500000.20.40.60.811.21.4低 通 滤 波 器 的 频 谱f/hz8 均值 : 0.0416均方值 : 0.7248 方差 ： 0.7265（2）输出 y的相关函数程序类似求 x(t) 的相关函数，其波形如下：（3） y 的概率密度程序类似求 x(t) 的概率密度，其波形如下：00.020.040.060.080.10.120.14-1.5-1-0.500.511.52通 过 低 通 滤 波 器 的 波 形-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15-3000-2000-10000100020003000tR输 出 信 号 相 关 函 数9 （4）y 的频谱程序类似求x(t)的频谱，其波形如下：（5）y 的功率谱密度0500100015002000250002004006008001000120014001600fY输 出 信 号 频 谱-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5yF输 出 信 号 概 率 密 度10 4．对 y 信号进行抽样采样频率8000Hz 若 8000hz 采样，波形输出程序为：sample1=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1))); i=1; for k=1:length(t) if mod(k,(Fs/fs1))==1 sample1(i)=y(k); i=i+1; end end figure(12); stem(t2,sample1);%除去相邻采样点间零点的采样信号xlabel('t'),ylabel('y'); title('采样信号 '); 则波形为：0500100015002000250030000100200300400500600700800900fS输 出 信 号 功 率 谱 密 度11 （1）每间隔 4 个点抽样一次①4 采样波形及均值，均方值，方差程序代码如下：sample2=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1))); for k=1:length(t2) if mod(k,5)==1 sample2(k)=sample(k); else sample2(k)=0; end end sample3=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)/5)); i=1; for k=1:5:length(t2) sample3(i)=sample1(k); i=i+1; end figure(13); stem((1:length(t2)/5)/300,sample3);%除去相邻采样点间零点的采样信号xlabel('t'),ylabel('y'); title('4采样信号 '); 00.020.040.060.080.10.12-1.5-1-0.500.511.5ty采 样 信 号12 sample_junzhi4=mean(sample2)%均值sample_fangcha4=std(sample2)%方差sample_junfangzhi4=sample_fangcha4+sample_junzhi4.^2%均方值4 采样信号为：均值： -0.0125 方差： 0.3212 均方值： 0.3213 ②4 采样信号的相关函数代码函数如上00.10.20.30.40.50.60.7-1.5-1-0.500.511.5ty4采 样 信 号-1000-800-600-400-20002004006008001000-60-40-20020406080100tR4采 样 信 号 相 关 函 数13 ③ 4 采样信号的概率密度④ 4 采样信号的频谱01000200030004000500060007000800001020304050607080fY4采 样 信 号 频 谱⑤ 4 采样信号的功率谱密度-4-3-2-10123400.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5yF4采 样 信 号 概 率 密 度14 （2）每间隔 8 个点抽样一次程序和 4 采样类似，只是间隔8 个点①采样信号00.020.040.060.080.10.12-1.5-1-0.500.511.5ty8采 样 信 号010002000300040005000600000.20.40.60.811.21.41.6fS4采 样 信 号 功 率 谱 密 度15 均值： -7.0098e-004 均方值： 0.1099 方差： 0.1099 ② 8 采样信号的相关函数③ 8 采样信号的概率密度-1000-800-600-400-20002004006008001000-8-6-4-20246810tR8采 样 信 号 相 关 函 数-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.7yF8采 样 信 号 概 率 密 度16 ④ 8 采样信号的频谱⑤ 8 采样信号的功率谱密度05001000150020002500300000.0050.010.0150.020.025fS8采 样 信 号 功 率 谱 密 度05001。