高二数学曲边梯形的面积与汽车行驶的路测试题含答案解析.doc

选修选修 2-2 1.5.1 曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程 一、选择题1．和式(yi＋1)可表示为( )5 ∑ i＝1A．(y1＋1)＋(y5＋1)B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)[答案] C[解析] (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)5 ∑ i＝1＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选 C.2．在求由 x＝a，x＝b(a0)，y＝0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成 n 个小区间，则第 i－1 个区间为( )A. B.[i－1 n，i n][i n，i＋1 n]C. D.[t(i－1) n，tin][t(i－2) n，t(i－1)n][答案] D[解析] 在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n 个小区间，每个小区间的长度均为 ，故第 i－1 个区间为t n，故选 D.[t(i－2) n，t(i－1)n]5．由直线 x＝1，y＝0，x＝0 和曲线 y＝x3所围成的曲边梯形，将区间 4 等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( )A. B. 1 19111 256C. D.110 27025 64[答案] D[解析] s＝×[(1 4)3＋(2 4)3＋(3 4)3＋13]1 4＝＝.13＋23＋33＋43 4425 646．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及 x 轴所围成的1 1＋x2曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.· ]limn→∞n ∑ i＝1[11＋(i n)22 nB.· ]limn→∞n ∑ i＝1[11＋(2in)22 nC.limn→∞n ∑ i＝1(1 1＋i2·1 n)D.·n]limn→∞n ∑ i＝1[11＋(i n)2[答案] B[解析] 将区间[0,2]进行 n 等分每个区间长度为 ，故应选 B.2 n二、填空题7．直线 x＝0，x＝2，y＝0 与曲线 y＝x2＋1 围成的曲边梯形，将区间[0,2]5 等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.[答案] 3.92 5.528．已知某物体运动的速度为 v＝t，t∈[0,10]，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．[答案] 55三、解答题9．求直线 x＝0，x＝2，y＝0 与曲线 y＝x2所围成曲边梯形的面积．[分析] 按分割，近似代替，求和，取极限四个步骤进行．[解析] 将区间[0,2]分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为.[2(i－1) n，2in]第 i 个小区间的面积 ΔSi＝f· ，(2(t－1) n)2 n∴Sn＝·n ∑ i＝1f(2(i－1) n)2 n＝＝(i－1)22 nn ∑ i＝14(i－1)2 n28 n3n ∑ i＝1＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]8 n3＝·8 n3(n－1)n(2n－1) 6＝.8(n－1)(2n－1) 6n2S＝Sn＝ ＝ ，limn→∞limn→∞8(n－1)(2n－1) 6n28 3∴所求曲边梯形面积为 .8 3[点评] 注意求平方和时，用到数列中的一个求和公式.12＋22＋…＋n2＝.不要忘记对 Sn求极限．n(n＋1)(2n＋1) 610．汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？[分析] 汽车行驶路程类似曲边梯形面积，根据曲边梯形面积思想，求和后再求极限值．[解析] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间为.[1＋i－1 n，1＋i n]∴Δsi＝f· .(1＋i－1 n)1 nsn＝·n ∑ i＝1f(1＋i－1 n)1 n＝1 nn ∑ i＝1[(1＋i－1 n)2＋2]＝1 nn ∑ i＝1[(i－1)2 n2＋2(i－1)n＋3]＝ 3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]1 n1 n2＋ [0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]1 n＝3＋＋.(n－1)(2n－1) 6n2n－1 ns＝sn＝ ＝.limn→∞limn→∞[3＋(n－1)(2n－1) 6n2＋n－1n]13 3∴这段时间行驶的路程为km.13 311．求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．[分析] →→→→选定区间分割近似代替求和取极限[解析] (1)分割：将时间区间[0，t]分成 n 等份．把时间[0，t]分成 n 个小区间(i＝1,2，…，n)，[i－1 nt，itn]每个小区间所表示的时间段 Δt＝ －t＝ ，在各小区间物体it ni－1 nt n下落的距离记作 Δsi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在上任取一时刻 ξi(i＝1,2，…，n)，可取 ξi使 v(ξi)＝g[i－1 nt，itn]t 近似代替第 i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落(i－1) n体 Δt＝ 内所经过的距离可近似表示为t nΔsi≈g· (i＝1,2，…，n)．(i－1 nt)t n(3)求和：sn＝sin ∑ i＝1Δ＝·n ∑ i＝1g(i－1 n·t)t n＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]gt2 n2＝ gt2.1 2(1－1 n)(4)取极限：s＝ gt2＝ gt2.limn→∞1 2(1－1 n)1 212．求由直线 x＝1、x＝2、y＝0 及曲线 y＝围成的图形的面1 x2积 S.[解析] (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它等分成 n 个小区间：，，…，，记第 i 个区间为[1，n＋1 n][n＋1 n，n＋2n][n＋n－1 n，2](i＝1,2，…，n)，其长度为[n＋i－1 n，n＋in]Δx＝－＝ .n＋i nn＋i－1 n1 n分别过上述 n－1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小区边梯形面积的和为 S＝Si.n ∑ i＝1Δ(2)近似代替记 f(x)＝.当 n 很大，即 Δx 很小时，在区间上，可1 x2[n＋i－1 n，n＋in]以认为 f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等1 x2于 f()．从图形上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似地n＋i－1 n·n＋in代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面[n＋i－1 n，n＋in]积 ΔSi′近似地代替 ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲” ，则有ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝· ＝(i(n＋i－1 n·n＋in)n2 (n＋i－1)(n＋i)1 nn (n＋i－1)(n＋i)＝1,2，…，n)．(3)求和小曲边梯形的面积和 Sn＝Si≈Si′n ∑ i＝1Δn ∑ i＝1Δ＝＝＋＋…＋n ∑ i＝1n (n＋i－1)(n＋i)n n(n＋1)n (n＋1)(n＋2)n (n＋n－1)(n＋n)＝n －＋－＋…＋－1 n1 n＋11 n＋11 n＋21 n＋n－11 n＋n＝n＝ .从而得到 S 的近似值 S≈Sn＝ .(1 n－1 2n)1 21 2(4)取极限分别将区间[1,2]等分成 8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于 S，从而有 S＝Sn＝ .limn→∞1 2∴由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝围成的图形的面积 S 为 .1 x21 2。