直线平面问题易错点分析.doc

别是EF与0、Q所成的角连结CG、DH =TAB丄EC,山三乖线定理的逆定理，得AB 丄 CG・・・ZECG是二面角a — AB — 0的平面角同理，ZFDH也是二面角a-AB-f3FEH=故EF与平而所成的角也相等图2直线、平面问题易错点分析山东 秦振直线、平面是立体几何的重要内容，学生在学习这部分知识时，经常因为概念不淸、 主观臆断、空间想象能力差而错解题目下血就学生在解题中出现的错误分类辨析如下,供 大家参考一、概念不清例1如图1・1,二面角a- AB- (3为锐角，E、F为两个面上的两点，E wa、F w卩,若E、F到棱AB的距离EC=FDo求证：EF与平面久0所成的角也相等鉛解如图1-1,在平面内，分别 过E、F作EC丄AB、FD丄AB,垂足 为 C、Do 连结 ED、FDo VEC=DF,CD=CD, /.RtAECD^RtAFDCo 二ED=FC,又 EF=EF, A AECF^ AFDEo・•・ ZEFC=ZFEDo即EF与平而久0所成的角相等辨析山题意，EC只垂直AB,而不垂直于平而0,根据直线与平面所成角的定义知,ZEFC不是EF与平面0所成的角，ifuZFED也不是EF与平面Q所成的角。

因此，以上证明是错误的，造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清 正解如图1-2,作EG丄Q, G、H为垂足连结GF、EH,则ZEFG、ZFEH分的平面角AZECG=ZHDFo 则 RtAEGF^RtAFHE.二、主观臆断例2 矩形ABCD中，AB=3, BC=4,沿对角线AC 角，求顶点B和D的距离错解如图2,在直二面角的面ADC内， 自D作DE丄AC于E,连BE、BD,则BD为 所求的距离TDE丄AC, ・・・DE、BE同为两个全等直角三角形斜边AC的i亦「.DE二BE二1 n/.ZDEB=90 o（AD DC）: AC= （4X3） : 5=y V平而 ADC丄平而 ABCABD= = 72 DE= o辨析 错解中认为BE是RtAABC斜边上的高，Ifu BE并不垂直AC造成鉛误的原因是主观臆断，以猜测代替证明12 9 13 7止解 作 BF=DE= — , EC=DC2 : AC=- , EF=AC-2EC=5- — = - 在 RtABFE5 5 5 5中，BE = >iBF- +EF2 = ,在 RtABED 中，BD=VbE2 +DE2 o三、随意使用“同理可证”例3如图3,己知平面a 平面0,纟殿43分别交a、0于M、N , 线段AD分别交a、0于C、D,线段分别交&、0于F、E,若 AM = m , BN = n , MN = p ,求△7\0和厶FMC的而积之比。

错解•••q 0, •••平 lluAND 分别交 a、0 于 MC . ND.FM _ AM _ m EN AN tn + p:.MC ND同理MF EN , FC ED.山等角定理，得 ZFMC = ZEND , ZMFC = ANED …FMC-A END・S△咖二EN）二伽+…SyJ FM「m2 辨析 在证明过程中，如果两次证明的依据相同，可以使用"同理可证”上述证明中, 平而 4ND 于a、0 交于 MC、ND,得 MC ND, Yfffi BFM 予a、0 交于 FM、EN , 得FM EN ,可用“同理可证”，但FC ED就不能用“同理可证”，因为BF、AD 能共而，也可能异而，故FC ED不一定成立，则两个三角形不一定相似止解•: a 0,湎如VD 分别交 &、0 亍 MC、ND：・MC ND MF EN山等角定理得 ZFMC = ZEND oMC AM/VO" A7VNE _ BNND =空・MCJ4・MCAM mNE = ^-MF = ——•MFBM n + pE e图4一1BD=AD=V|2在 △ DAC 中SmedJnD.NE.sZEND =2 2 tn n + p. s 。

・・・头眶即△ END和△ FMC的面积之比为 加(〃 + ") Swc 加(〃 + 〃)n (m + /?) m(n + p)四、作图有误例4如图4—1,设二面角P-EF-Q,从点A分别作AB丄平面P,作AC丄平面Q（5C为垂足），若 AB = 3, 4C = 1, ZBAC = 60.求二面角 P-EF-Q 的度数错解过A』,C三点的平而和平面分别交于BD、CD. VEF丄AC, EFABo ・・・EF丄平而 ABDCo ABD丄EF, CDEF,故ZBDC 为所求二面角的平面角曲ZBAC=60 ,故ZBDC=120 ,即二面角的 平面角P-EF-Q的度数为120 o辨析 满足条件：AB=3, AC=1, ZA=60 , ZBDC=120的四边 形ABDC是不存在的也就是说点A不可能在二面角内不，而是 在二面角外，山于作图有误，导致计算鉛误，止解如图4-2,过点A、B、C的平面与EF垂直，故ZBDC 为二而角AD 为 A 到 EF 的距离，VRtAADB> RtAACD 在同一平而内，且AD为公共边，・・・A、C、B、D四点公圆・•・ZBDC=ZBAC=60,故所求二面角P・EF・Q两度数是60。

1. 考虑不周例5在克二面角的棱上任取一点，从这点在两个面内作一 条射线和棱成45 角，求这两条射线间的尖角o错解 如图5・1,直二面角d- a・卩，AEcr , BZ BAD=ZCAD=45取 AB=AC 过 B 作 BC丄&交 AC 于 C,连结 BD V RtABDA^RtACDA. ^RtABDQ ・・・AB=AC=BC.则ABAC为止三角形・・.ZB AC=60辨析 解题吋，因考虑不周，只考虑了 AC、AB同向的情况，而漏 掉了反向的情况正解 （1）如图5-1,当AB、AC同向吋，ZBAC=602）如图5・2,当AB、AC反向时,IR AB=AC=m,作BDa于 D , CE 丄a 于 E这里 Z BAD= Z CAE=45 ,在△ BDA 中，图5-2DC= VAC2 + AD2 -2 AC AD-COS1350 =凹m.2在 RtABDC 中 BC= VSD2 +DC2 =羽m ,在厶ABC 中 COS ZBAC= + 人二_ = _丄ZBAC=1202-AB AC 2故所求两射线间的夹角为60或120o六、特殊代替一般例6已知平面Q〃平面0,线段AA‘、BB夹在两 平行面之间，若E、F分别是线段AA、BB的中点。

求证: EF〃平面G, EF〃平而0错解 如图6-1, V平面Q 〃平面0 ,・・・AB〃A‘ B o・•・四边形AA B‘ B是梯形TEF为梯形AA，B* B的中位线，・・・EF〃AB, EF〃A，B・・・EF〃平面Q, EF〃平面0辨析 一般來讲，AB与A B是异面直线，于是AA与B B不平行，四边形 AA B‘ B是空间图形，因此EF也不是梯形中位线这样鉛解犯了以特殊代替一般的鉛误正解 如图6-2,连结形AA、B B、A B,収A B的中点0,连结EO、FOVEO是AA AB的中卫线，・・・EO〃AB・・・E0〃平面Q同理，FO〃A‘ Bz , AFO〃平面0・•・平而EFO 〃平而a 〃平而0・•・EF〃平而a , EF 〃平而0。