湖南省天壹名校联盟2026届高三9月联考数学试题（含答案）.docx

湖南省天壹名校联盟2026届高三9月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|40)，则“点A(1,0)在圆O外”是“点B(1,1)在圆O外”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.设复数z=1+i，w=a+bi，其中a，b∈R，若zw−zw是虚数，则(    )A. a+b=0 B. a+b≠0 C. a−b=0 D. a−b≠04.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是(    )A. 若m//α，α//β，则m//βB. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC. 若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥βD. 若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m与n相交5.在△ABC中，sinA=13，AB=BC= 2，则AC的长为(    )A. 83 B. 6 C. 3 D. 436.已知圆锥和圆柱的底面半径均为r，高均为h，若圆锥与圆柱的表面积之比为4:7，则hr=(    )A. 35 B. 53 C. 43 D. 347.债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性，一种常用的债券现值计算公式为PV=i=1nCi(1+r)i+Fn(1+r)n，其中PV为债券现值，n表示债券的期限(单位：年)，Ci为第i年的利息，Fn为n年后的债券面值，r为贴现率.若PV=72，r=0.05，Ci=2.1i，则F5F4=(    )A. 12 B. 13 C. 23 D. 148.已知sinα+2sinβ=2，则cos(α+β)的最大值为(    )A. 18 B. 14 C. 16 D. 12二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知a>0，圆O:x2+y2=a2，直线l1:x+ay+2=0，l2:2ax+y+1=0，则(    )A. l1与l2不可能垂直B. 若a=1，则l1与圆O相切C. 若a= 22，则l2与圆O相交D. 若圆O与圆(x−2a)2+y2=4无交点，则a>210.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)−2xy=f(x)+f(y)，f(1)=0，则(    )A. f(2)=2 B. f(12)=−14C. f(x+1)是偶函数 D. f(x)−x2是奇函数11.在直角坐标系xOy中，曲线Γ:(x2+y2)(x2+y2−4)=sin2x−cos2y，则下列结论正确的是(    )A. Γ与y轴无交点 B. Γ关于直线y=x对称C. 若点P在Γ上，则|OP|< 5 D. 若曲线y=ax与Γ有公共点，则a<52三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知平面向量a=(2,−1)，b=(6,k)，若a⊥(a−b)，则实数k=          ．13.记数列{an}的前n项之积为Tn，已知Tn+1−Tn=2n，且a1=1，则a6=          ．14.已知函数f(x)=x3−mx2+2的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数m=          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知函数f(x)= 3cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为2π3．(1)求f(x)图象的对称轴方程;(2)在△ABC中，AC=8，△ABC的周长为4AB，且f(A3)=0，求BC．16.(本小题15分)在数列{an}中，a1=12，an+12n=an2n+1+122n+1．(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=n2an，求数列{bn}的前n项和Sn．17.(本小题15分)已知圆C:(x−a)2+y2=r2(a>4,r>0)，过圆C内的点A(4,0)的弦长的最大值为4，最小值为2 3．(1)求圆C的方程．(2)点B是x轴上异于点A的一个点，且对于圆C上任意一点P，|PB||PA|为定值．(ⅰ)求点B的坐标;(ⅱ)点D(7,4)，求|PD|2−|PA|2|PB|+2|PD|+|PA|的最小值．18.(本小题17分)已知函数f(x)=ex−mx2，m∈R.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)有两个极值点，求m的取值范围;(3)若m>0，实数a，b满足f′(a)=f(a+1)−f(a)，f′(b)=f(b)−f(b−1)，试比较f′(a)和f′(b)的大小．19.(本小题17分)如图，将△EAB，△ECB，△ECD，△EAD四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE，其中EA=EC，EB=ED，AB=BC=CD=DA.连接AC，BD，过点E作平面α，满足AC//α，BD//α．(1)证明：AC⊥BD．(2)若EA= 2，EB=AB=1，且AC=BD．(ⅰ)求AC到平面α的距离与BD到平面α的距离的平方和;(ⅱ)求平面AEB与平面α夹角的余弦值．参考答案1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.AC 10.ABD 11.BCD 12.7 13.3121 14.3 15.解：(1)由题意可得2πω=2π3，故ω=3，故f(x)= 3cos(3x+π6)，令3x+π6=kπ(k∈Z)，可得f(x)图象的对称轴方程为x=kπ3−π18(k∈Z)，(2)由f(A3)=0得cos(A+π6)=0，又A∈(0,π)，所以A=π3，因为AB+AC+BC=4AB，所以BC+8=3AB，设AB=t(t>0)，则BC=3t−8，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cosA，即(3t−8)2=t2+64−8t，化简得t2−5t=0，解得t=5，即AB=5，故BC=7． 16.解：(1)因为an+12n=an2n+1+122n+1，所以2n+1an+1−2nan=1，又a1=12，所以2a1=1，所以{2nan}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以2nan=1+(n−1)×1=n，所以an=n2n．(2)由(1)可知bn=n2an=n⋅2n，所以Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n， ①2Sn=1×22+2×23+3×24+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1， ② ①− ②，得−Sn=2+22+23+⋯+2n−1+2n−n⋅2n+1，即−Sn=2×(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，故Sn=(n−1)⋅2n+1+2． 17.解：(1)圆的最长弦为直径，所以2r=4，得r=2．最短弦为与直径垂直的弦，可得2 r2−(a−4)2=2 3，又a>4，所以a=5．故圆C的方程为(x−5)2+y2=4．(2)(i)设P(x,y)，B(b,0)，则|PB|2|PA|2=(x−b)2+y2(x−4)2+y2，因为点P在圆C上，所以将y2=4−(x−5)2代入上式，得|PB|2|PA|2=(x−b)2−(x−5)2+4(x−4)2−(x−5)2+4=(10−2b)x+b2−212x−5，因为该式的值为常数，所以10−2b2=21−b25，解得b=1(b=4舍去)，所以点B的坐标为(1,0)．(ii)由(i)可知|PB|2|PA|2=8x−202x−5=4，所以|PB|=2|PA|．所以|PD|2−|PA|2|PB|+2|PD|+|PA|=|PD|2−|PA|22(|PA|+|PD|)+|PA|=|PD|−|PA|2+|PA|=|PD|+|PA|2，易知，|PD|+|PA|≥|AD|=5，当点P段DA上时等号成立，故|PD|+|PA|2的最小值为52，即原式的最小值为52． 18.解：(1)f′(x)=ex−2mx，则f′(0)=1，f(0)=1，故所求的切线方程为y=x+1．(2)记g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex−2m，因为f(x)有两个极值点，所以g(x)有两个零点．若m≤0，则g′(x) > 0，g(x)单调递增，不符合题意．若m>0，则当x∈(−∞,ln(2m))时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(ln(2m),+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(ln(2m))=2m[1−ln(2m)]．又当x→+∞或x→−∞时，都有g(x)→+∞，故只需2m[1−ln(2m)]<0，得m>e2，即m的取值范围是(e2,+∞).(3)由f′(a) =f(a+1)−f(a)，得ea−2ma=ea+1−m(a+1)2−ea+ma2，整理得a=lnme−2．由f′(b)=f(b)−f(b−1)，得eb−2mb=eb−mb2−eb−1+m(b−1)2，解得b=1+lnm.所以f′(a)−f′(b)=me−2−2mlnme−2−me+2m(1+lnm)=m[1e−2−(e−2)+2ln(e−2)]．设函数h(x)=1x−x+2lnx，则h′(x)=−(x−1)2x2≤0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，所以h(e−2)>h(1)=0，又m>0，所以f′(a)−f′(b) >0，即f′(a) >f′(b)． 19.解：(1)取AC的中点M，连接BM，DM，因为AB=BC，CD=AD，M为AC的中点，所以BM⊥AC，DM⊥AC，又因为BM∩DM=M，BM、DM⊂平面BDM，所以AC⊥平面BDM．又因为BD⊂平面BDM，所以AC⊥BD．(2)(i)连接EM，因为EA=EC，所以EM⊥AC，由(1)知AC⊥平面MBD，则E，B，D，M四点共面，易证△ABC≌△ADC，可得MB=MD，在四边形EBMD中，EB=ED，MB=MD，根据对称性，可知EM垂直平分BD，因为AC//α，BD//α，所以在平面α内存在点F，G，使得EF/​/AC，EG//BD，则EM⊥EF，EM⊥EG，即EM⊥平面α．如图，以E为坐标原点，EF，EG，EM的方向分别为x，y，z轴的的正方向，建立空间直角坐标系．设AC=BD=2r，直线AC到平面α的距离为h1，BD到平面α的距离为h2，则A(r,0,h1)，B(0,r,h2).因为EA= 2，EB=AB=1，所以r2+h12=2r2+h22=12r2+(h1−h2)2=1,解得h12= 5+12，h22= 5−12，r2=3− 52，故AC到平面α的距离与BD到平面α的距离的平方和为h12+h22= 5．(ii)设平面AEB的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EA=0m⋅EB=0，即rx+h1z=0ry+h2z=0，取m=(h1,h2,−r)．设平面AEB与平面α的夹角为θ，取平面α的一个法向量为n=(0,0,1)，则lcos|=r h12+h22+r2= 3− 52 3+ 52=3− 52，故平面AEB与平面α夹角的余弦值为3− 52． 7 / 7。