电子测量技术基础张永瑞第2版第09章.ppt

第 9 章　噪 声 测 量　概述　概述　噪声的统计特性及其测量　噪声的统计特性及其测量　器件的噪声参数及其测量　器件的噪声参数及其测量小结小结习题习题9　概　　述　概　　述　　在电子技术中， 噪声是除有用信号以外的一切不需要的信号和各种电磁干扰的总称 产生噪声的原因很多， 例如， 噪声可由自然界闪电等放电现象所产生， 也可由机器发出的电火花和点火系统所产生 电路中的噪声主要来自于电阻的热噪声和晶体管的散粒效应　　噪声是一种随机信号， 我们不能预计其未来的瞬时幅度， 因此不能像确知信号那样， 用有限的几个参量说明其特性 例如， 阶跃信号只需用幅度和时间两个参量说明， 正弦波用幅度、 频率和相位三个参量说明， 而噪声需要用统计学的方法加以描述　　包含所有颜色的光称为白光 类似地， 在所有频率下具有等功率密度的噪声称为白噪声 真正的白噪声应该具有无限的带宽， 因而有无限的功率， 但实际系统的带宽总是有限的， 只要在所研究的频带内噪声具有平直的功率密度谱， 我们就可以把它看成是白噪声　　具有高斯(正态)分布律的噪声称为高斯噪声 必须指出， 由于概率密度函数与功率密度谱是两个互不相关的量， 因而白噪声不一定是高斯噪声。

反之， 具有高斯分布律的噪声也不一定是白噪声 具有高斯分布的白噪声称为高斯白噪声， 如电阻的热噪声、 晶体管的散粒噪声等　当信号通过系统时， 由于受到系统中噪声的干扰， 严重地影响了检测系统接收微弱信号的能力， 并直接限制了测量的灵敏度和精度 因而研究噪声的特性及其测量是电子测量中的一项重要任务　噪声的统计特性及其测量　噪声的统计特性及其测量　　噪声是一种依赖时间和空间而变化的随机过程 在相同条件下， 对随机过程独立地进行几次观察， 就会发现每次观测的曲线彼此都不相同， 如图所示， 这样的曲线组称为一个总体 一般而言， 随机过程是由一个或几个连续变量所决定的随机量， 可以用随机函数来描述， 图中用x1(t)、 x2(t)等表示每一组观察曲线的随机函数， 其特性用统计方法描述图　随机过程的总体　噪声的统计特性　噪声的统计特性　　　　1. 平均值平均值　　对随机过程的一个总体而言， 在某一瞬间t1所有波形的平均值称为总体平均， 并写为(9.2-1)　　当观察的曲线数N→∞时， 式(9.2-1)便是随机过程在t1时刻的期望值， 即(9.2-2)　　显然， 在不同的时刻随机过程具有不同的期望值。

也就是说， 随机过程的数学期望是时间的函数　　如果一个随机过程的总体平均与时间无关， 即对任意时刻t1及t2， 有(9.2-3)则该随机过程称为平稳过程 在实际工作中， 真正的平稳过程是很少遇到的， 但在一定的近似条件下， 可以作为平稳过程来处理， 例如随机噪声大都可以近似看做平稳过程　　在实际工作中， 并非都有随机变量的总体， 相反， 往往可以得到长时间观察的单一记录， 如图所示 这时， 需要采用另一种平均值——时间平均值， 即(9.2-4)　　由于观察时间T总是有限值， 因此进行平均的时间区间不同或进行平均的时刻不同， 所得的时间平均值也不同图　随机过程的单一记录如果平稳随机过程的时间平均等于总体平均， 即(9.2-5)式中， xi(t)为第i组观察结果； xk(tj)为tj时刻第k组的观察值 这样的平稳过程称为各态历经过程 在同一温度环境中一批相同的电阻产生的热噪声信号就是各态历经过程　　　　2. 方差和均方根值方差和均方根值　　同随机变量一样， 对于一个随机过程， 也可用方差σ2或标准偏差σ(均方根值)来表征其离散的程度 与平均值类似， 方差σ2也可以从时间角度和总体角度分别加以定义。

　时间平均方差定义为(9.2-6)标准偏差为(9.2-7)　　若随机信号x(t)为噪声信号， 则由式(9.2-7)可知， 标准偏差表示噪声电压或电流的均方根值， 即有效值　　与平均值类似， σ也是时间的函数 若进行平均的时间区间不同或进行平均的时刻不同， 则所得的结果也不相同　总体方差定义为(9.2-8)　　若有两个均方根值分别为σ1和σ2的噪声信号x1(t)和x2(t)， 则它们之和［x1(t)+x2(t)］ 的均方根值σ等于(9.2-9)　　　　3. 功率谱和功率密度谱功率谱和功率密度谱　　功率谱表示一个信号的各频率分量所对应的功率在频谱内的分布情况 对于周期信号， 因具有离散的频谱， 故每一频率分量的功率大小为幅度谱的平方， 单位是V2， 如图9.2-3(a)所示 图中， T为周期信号的周期； f0=1/T为基频 信号的总功率等于每一频率分量的功率之和图　功率谱和功率密度谱　　对噪声等随机信号， 其周期可视为无限大， 频谱中各频率分量间隔趋于零， 频谱是连续的 因此引入功率密度谱S(f)， 其定义为信号的单位带宽所具有的功率大小， 单位为V2/Hz 功率密度谱是频率的连续函数， 如图9.2-3(b)所示。

图中曲线下的总面积等于噪声的总功率 在频率f1~f2的频带内， 信号功率等于图中阴影部分的面积， 其数学表示式为(9.2-10)　　　　4. 概率密度函数概率密度函数　　功率密度谱告诉我们信号能量在频率上是如何分布的， 但是它不包含信号的幅度变化和相位变化的信息， 因而不能说明噪声信号是如何随时间变化的　　概率密度函数p(x)是表征噪声在时域内波形信息的统计参数， 它与功率密度谱无关 典型的概率密度函数为高斯(正态)分布， 即(9.2-11)式中， σ为均方根值(标准偏差)， 其曲线如图9.2-4(a)所示 在任意两个幅度x1和x2之间， p(x)曲线下的面积(图中阴影部分)等于该信号在x1和x2之间所经历的时间总和 通常令p(x)曲线下的总面积等于1， 那么p(x)在x1和x2之间的面积等于信号幅度处于x1和x2之间的概率　　电子测量中涉及的噪声大多为高斯分布的噪声， 那么噪声幅值在±3σ范围内的概率为99.7%， 因此可以认为高斯噪声的峰值为3σ， 即峰值等于均方根值的3倍图9.2-4 高斯分布概率密度曲线和噪声波形　噪声特性的测量　噪声特性的测量　　　　1. 平均值的测量平均值的测量　　由式(9.2-4)可知， 测量噪声电压的时间平均值应在无限的时间内进行， 以便得到精确的结果。

但实际上T为有限值， 因而测得的只是平均值　　的一个估计值， 用　　表示， 即(9.2-12)显然， 估计值 　　与测量时刻的选择和测量时间T的大小有关， 它也是一个随机量 例如当T→∞时， 估计量的期望值等于真值， 即(9.2-13)在这种情况下， 称为无偏估计　　测量噪声的平均值可以用一积分电路对噪声求平均， 实际上通常采用各种形式的低通滤波器得到噪声的平均值， 如时间常数很大的积分式RC电路， 然后用直流电压表测量　　噪声平均值的测量也可以对噪声进行取样， 即在一系列的离散时刻上测得噪声的大小（取样值为x(KT)）， 然后求其平均值， 即(9.2-14)式中， T为取样间隔时间； N为取样数 其测量框图如图所示 图中， V/F变换器将噪声电压的大小转换成相应概率的脉冲， 由计数器完成式(9.2-14)的累加和平均图　测量噪声平均值框图估计值 　与平均值　 之间的误差为随机误差， 其误差的均方值为(9.2-15)式(9.2-15)也称为估计值方差 如果噪声信号具有高斯分布， 那么进行68%的测量的误差小于一个标准偏差　 ， 95%的测量的误差小于两个标准偏差2 。

对于高斯型噪声， 其平均值的均方误差为(9.2-15)式中， σ为噪声的均方根值； B为噪声的带宽； T为平均值的积分时间 若噪声信号为白噪声， 则式(9.2-16)中的σ2/B为噪声的功率密度谱　　根据式(9.2-16)可以计算出有噪声时测量直流电压的误差； 反之， 当给定测量该直流电压的误差要求时， 可由式(9.2-16)确定积分时间　　【例例1】　有10 mV的直流电压U0埋藏在100 mV均方根值的有限频带高斯噪声中， 噪声具有1 kHz的平直频谱 如果用积分式数字电压表进行测量， 那么为了有95%的把握性获得5%的精确结果(即测量误差不超过5%)， 求需要多长的积分时间T　　解解： 为了保证有95%把握性，实际测量误差应小于 ， 并由式(9.2-16)可得故　　由此可见， 用积分法测量淹没于噪声中的直流分量时， 积分时间应足够长， 否则， 测量结果将会造成较大的误差　　　　2. 均均c方根值和功率密度谱的测量方根值和功率密度谱的测量　　利用真正的有效值响应电压表可以测量噪声电压的有效值， 其读数即为噪声的均方根值 在选用有效值响应电压表时， 必须注意电压表测量电压的频率范围应大于被测噪声的带宽。

否则， 因电压表带宽不足将滤去一部分噪声频谱， 使读数偏小， 造成较大的测量误差 另外， 由于高斯噪声的峰值为有效值的3倍， 即波峰系数Kp=3， 因此， 测量时电压表的动态范围要大， 在选择测量量程时， 应使指示值为满刻度的一半左右， 否则， 噪声电压的峰值将超出电压放大器的动态范围而产生限幅， 使读数偏低　　若噪声电压为高斯型， 则也可以用平均值响应电压表进行测量， 但必须将电压表的读数转换为均方根值 设用平均值响应电压表测量噪声电压时的读数为α, 则噪声电压的平均值为　　α， 噪声的波形因数KF， 求得噪声电压的均方根值(有效值)为(9.2-17)若用示波器测得噪声电压的峰-峰值Up-p, 则噪声电压的有效值为(9.2-18)　　噪声的功率密度谱可以利用频谱分析仪进行测量， 在示波管荧光屏上直接显示噪声功率密度谱 若荧光屏上显示的是幅度谱， 则其平方值才是功率密度谱　　　　3. 概率密度函数的测量概率密度函数的测量　　测量随机信号概率密度函数的简单框图如图所示 闸门Ⅰ是一个有偏压的二极管构成的电路， 仅当噪声电压x满足x1

闸门Ⅱ开启的时间为T秒， 计数器将计数T秒内x处在x1与x2之间时所通过的时钟脉冲总数 如果调节x1与x2在x(t)的峰-峰值范围内变化， 并保持|x2－x1|不变， 那么计算器的读数与(x1－x2)范围内的概率密度函数成正比　　为了精确测量概率密度函数， 要求T很大， 所以测量很费时 若采用100个以上与图相同的电路同时测量， 则可以在很短的时间内给出整个概率密度函数曲线图　测量概率密度函数的框图　器件的噪声参数及其测量　器件的噪声参数及其测量　　　等效输入噪声电压及其测量　等效输入噪声电压及其测量　　一个有噪声的放大器可以用一个理想的无噪声的放大器来等效， 而将实际输出的噪声电压Uno等效到无噪声放大器的输入端， 如图所示 图中， Us和Rs分别为信号源的电压和内阻； Uso为信号源的输出电压 设放大器的电压传输系数为(9.3-1)则放大器的等效输入噪声电压Uni定义为(9.3-2)式中输出噪声电压Uno包含了Rs的热噪声和放大器内部器件所产生的噪声图　等效实际输出电压图　测量Uni的原理框图　　测量Uni的原理框图如图所示 图中， 　　为正弦信号源， 其输出电阻与一个电阻串联后的阻值应等于放大器实际工作时的信号源内阻Rs。

用有效值电压表测量信号源开路时的电压Us和放大器输出的正弦电压Uso， 则按式(9.3-1)可计算出Kt 顺便指出， Kt不同于放大器电压增益KV, KV应为放大器输出的正弦电压Uso与输入端的正弦电压Ui之比， 即(9.3-3)式中， Ui如图所示 使信号源的输出电压为零， 即此时放大器输入端接一电阻Rs， 用有效值电压表测出放大器输出端噪声电压Uno， 由式(9.3-2)可以求得等效输入噪声电压Uni也可以用噪声发生器代替正弦信号源进行测量 测量时先不接噪声发生器， 在放大器输入端仅接Rs， 测得放大器输出噪声电压的有效值Un1 根据Uni的定义， 得(9.3-4)然后接上噪声发生器， 保持Rs不变 设噪声发生器输出噪声电压的有效值为Uns， 测得放大器输出总噪声电压的有效值为Un2, 则(9.3-5)由式(9.3-4)和式(9.3-5)解得(9.3-6)若调节噪声发生器的输出电压， 使放大器输出总的噪声电压有效值 ，即输出噪声功率增加一倍由式(9.3-6)得(9.3-7)即被测放大器的等效输入噪声电压等于使放大器输出噪声功率增加一倍时噪声发生器的输出噪声电压。

　　等效输入噪声电压不仅指出了放大器本身产生的噪声大小， 还包括了信号源内阻的热噪声 经简单计算， 可以得到放大器输出噪声的大小 通常， 用它估算放大器能够检测到的最小输入信号电压　等效噪声电阻及其测量　等效噪声电阻及其测量　　放大器产生的噪声可以等效为一个接在输入端并处在标准室温T0=290K时的电阻所产生， 而放大器本身不再产生噪声， 这个电阻称为等效噪声电阻Rn， 如图所示 由于电阻产生的热噪声电压有效值为　　　　　， 因此根据定义， 等效噪声电阻Rn产生的热噪声电压有效值为(9.3-8)图　等效噪声电阻Rn式中， k为玻耳兹曼常数； Beq为等效噪声带宽， 其定义将在下面介绍 设放大器的电压增益为KV， 那么放大器输出端的噪声电压为(9.3-9)　　测量等效噪声电阻Rn的原理框图如图所示 首先将被测放大器输入端短路， 用有效值响应电压表测量放大器的输出噪声电压图　测量等效噪声电阻的原理框图　　根据Rn的定义， 此时有效值电压表的读数为Rn产生的输出噪声电压的有效值Uno1 然后在输入端与地之间接入可调电阻， 调节该电阻使Uno2=　　Uno1, 即U2no2=2U2no1， 设此时可调电阻的阻值为R0, 则(9.3-10)由式(9.3-9)和式(9.3-10)解得：Rn=R0　　　　　　　　　　(9.3-11)　　由此可见， 放大器的等效噪声电阻Rn等于使放大器输出噪声电压增加到 　　倍时可调电阻的值R0。

若用功率计进行测量， 那么应使第二次读数比第一次增大一倍　等效噪声带宽及其测量　等效噪声带宽及其测量　　当一宽带白噪声通过带宽有限的放大器时， 噪声的频谱宽度将减小 放大器的带宽定义为增益下降到最大值的1/　　时所对应的频带宽度 对于白噪声而言， 略高于或低于截止频率的频谱分量仍能得以放大， 所以经放大后的噪声其带宽将大于放大器的带宽 为此引入等效噪声带宽Beq　　等效噪声带宽Beq定义为一个矩形功率增益曲线的频带宽度 该矩形功率增益曲线下的面积等于实际功率增益曲线下的面积， 如图所示 图中， 实线为放大器的实际功率增益曲线G(f); G(0)为中间频率的功率增益 虚线构成的矩形面积等于G(f)曲线下的面积， Beq就是等效噪声带宽 图中， fc是放大器的截止频率， 即G(f)降低到G(0)/2时的频率， 放大器的带宽为0~fc 由此可知， 等效噪声带宽可表示为(9.3-12)图　等效噪声带宽的定义　　由于功率增益G(f)正比于放大器的电压增益KV(f)的平方， 因此式(9.3-12)也可表示为(9.3-13)式中， KV0为中间频率的增益　　等效噪声带宽Beq可以通过测量求得。

　　首先测量放大器在不同频率下的电压增益KV(f)， 在方格纸上画出K2V(f)曲线， 如图所示， 然后把K2V(f)曲线下的面积分成很多矩形和三角形， 计算每一块面积并相加得总面积S， 根据式(9.3-13)， 等效噪声带宽为(9.3-14)图　等效噪声带宽的计算　噪声系数及其测量　噪声系数及其测量　　噪声系数有多种表示方法， 目前用得最广泛的是用信噪比来计算噪声系数在如图所示的放大器电路中， 　　　和Rs分别为信号源电压相量和内阻， RL为负载电阻 该放大器的噪声系数定义为： 在标准温度290 K时， 放大器的输入信噪比与输出信噪比的比值， 即式中， Si和So分别为放大器的输入和输出信号功率； Ni和No分别为放大器的输入和输出的噪声功率 如图所示， Ni即为信号源内阻Rs在放大器输入端产生的热噪声功率(9.3-15)图　测量噪声系数的原理电路　　令G为放大器的功率增益， 即G=So/Si， 则式(9.3-15)可改写为(9.3-16)式中， GNi表示信号源内阻Rs的热噪声功率传至输出端的功率 令Nio=GNi, No包括了GNi和放大器内部器件产生的输出噪声功率Nno， 即No=GNi+Nno　　　　　　　　(9.3-17)这样式(9.3-16)可改写为(9.3-18)式(9.3-16)和式(9.3-18)是噪声系数F的另外两种表示方法。

噪声系数F常用分贝表示， 这时又称为噪声指数， 即F(dB)=10 lgF (9.3-19)由式(9.3-15)可见， 噪声系数表征放大器引起的信噪比降低程度  一个理想的、 无噪声的放大器其总输出噪声功率No=GNi， 因此F=1或F(dB)=0 dB 如果放大器总输出噪声功率比理想时大一倍， 则F=2或F(dB)=3 dB 因此， F越大， 表明放大器本身产生的噪声越大　　利用正弦信号源测试噪声系数F的原理框图如图所示 图　用正弦信号源测量噪声系数　　 首先测出放大器的电压增益随频率变化的曲线， 设中间频率的电压增益为KV0， 则放大器中间频率的功率增益为G=K2V0， 并根据式(9.3-14)， 求出噪声的等效带宽Beq 然后去掉正弦信号源， 在放大器输入端接一电阻Rs， 其阻值等于放大器实际工作时的信号源内阻 用有效值电压表测量放大器输出端总噪声电压的均方根值Uno， 这时输出的噪声功率为No=U2no由于放大器的输入噪声功率Ni为Rs的热噪声功率， 即Ni=4kTRsBeq　　　　　　　　　(9.3-20)因此， 由式(9.3-16)得噪声系数为(9.3-21)由上述可见， 用正弦信号源测量噪声系数只需通用仪器， 但测量步骤及计算较麻烦， 特别在高频时测量误差较大， 故用正弦信号源测量F只适用于低频情况， 在高频范围内， 可利用噪声发生器进行测量。

　　用噪声发生器代替正弦信号源， 并使噪声发生器的内阻Rs等于放大器的输入电阻Ri 首先调节噪声发生器， 使其输出电压为零， 用电子电压表测出放大器输出端的噪声电压均方根值Uno1， 这时输出的噪声功率即为总的噪声功率No1=U2no1 由于Rs=Ri， 因此放大器输入端的噪声功率为(9.3-22)式中， U2ni为Rs产生的热噪声功率　　然后调节噪声发生器的输出噪声电压大小， 使放大器输出总的噪声电压为Uno2=　　Uno1， 记下这时噪声发生器输出端开路时的噪声电压均方根值Uns 我们把Uns看做放大器的输入“信号”， 由于Rs=Ri， 因此加在放大器输入端的“信号”功率为(9.3-23)这时放大器输出总噪声功率为No2=U2no2=2U2no1 由式(9.3-15)、 式(9.3-22)和式(9.3-23)得(9.3-24)式中， U2ni为Rs的热噪声功率 式(9.3-24)表明， 当使放大器输出噪声功率增加一倍时， 噪声发生器产生的噪声功率U2ns与Rs热噪声功率之比等于被测放大器的噪声系数F　等效噪声温度　等效噪声温度　　等效噪声温度Teq是这样定义的： 假设实际放大器内部产生的噪声功率Nn等于无噪声的理想放大器在其电阻Rs处于温度Teq时产生的热噪声， 即(9.3-25)式中， Ni为电阻Rs在标准温度T0时产生的热噪声输入功率。

由放大器内部器件产生的输出噪声功率为(9.3-26)将式(9.3-26)代入式(9.3-18)得Teq=T0(F－1) (9.3-27)　　当F=2时， 对应的Teq=T0=290 K； 当F时， Teq=29 K　Teq与等效噪声电阻Rn的关系为(9.3-28)式中， Rs为信号源内阻 必须指出， 等效噪声温度Teq不是物理温度， 故不能用温度计进行测量 有关Teq的测量可参阅其他相关教材　　上面讨论了放大器噪声性能的表征方法及其测量， 下面将研究放大器的噪声等效电路　放大器的噪声等效电路　放大器的噪声等效电路　　为了分析方便， 我们把放大器看做是无噪声的理想放大器， 而把放大器内部各器件产生的噪声用两个位于放大器输入端的噪声源来表示： 一个是理想的噪声电压源Un(内阻为零)； 另一个是理想的噪声电流源In(内阻为无限大)， 如图所示 Un和In不包括Rs产生的热噪声， 它们无法直接测得， 但可通过上述间接的测量或计算求得 图中还画出了电阻Rs的热噪声电压Ut， 即(9.3-29)可以证明， 等效输入噪声电压为(9.3-30)图　放大器的噪声等效电路小　　结小　　结　　1. 噪声的统计特性及其测量　　(1) 平均值： 分为总体平均和时间平均。

　　总体平均：时间平均：　　利用低通滤波器可以测量噪声的平均值 为了保证测量精度， 需要足够长的积分时间T　(2) 方差和均方根值 　　方差：均方根值：　　测量均方根值需要用真正的有效值响应电压表， 并选择电压表的带宽要大于被测噪声的带宽　　(3) 功率密度谱S(f): 噪声单位带宽所具有的功率大小 可利用频谱分析仪进行测量　　(4) 概率密度函数p(x)： 表征噪声在时域内波形信息的统计参数， 典型的概率密度函数为高斯分布， 即　　　　2. 器件的噪声参数及其测量器件的噪声参数及其测量　　(1) 等效输入噪声电压Uni定义为　　测量方法有两种： 一种是采用正弦信号源； 另一种是采用噪声发生器 当使放大器输出噪声功率增加一倍时， 噪声发生器输出的噪声电压等于被测放大器的等效输入噪声电压， 即Uni=Uns　　(2) 放大器的等效噪声电阻Rn等于使放大器输出噪声电压增加到 　　倍时可调电阻R0的值　　(3) 等效噪声带宽Beq可表示为其测量方法为： 求出K2V(f)曲线的面积S， 则(4) 噪声系数定义为　　噪声系数的测量为： 在低频时利用正弦信号源产生输入信号， 在高频时采用噪声发生器作为信号源。

习　题　习　题　9　　　应当用什么样的电压表测量噪声电压? 对电压表的性能指标有什么要求?　　　有0.1 V直流电压埋藏在均方根值为1 V的有限带宽高斯噪声中， 噪声具有高达1 kHz的平直频谱 如果使用积分电压表， 则为了由99.73%的置信度获得5%的被测直流电压估值的相对标准差， 则所需的平均时间应为多少?　　　若积分周期为1 s， 置信度为95%时噪声引入的最大测量误差不超过2 μV， 噪声的均匀带宽为1 kHz， 则积分型数字电压表输入端所容许的噪声最大均方根值为多少?　　　用某双积分型数字电压表测量约为5 V的直流电压， 该电压上叠加有带宽为3 kHz 的白噪声， 其均方根值σ=0.5 V， 数字电压表采样积分时间为T=0.6 s， 求测量的最大绝对误差和相对误差　　　当放大器输入端的信号源输出为10 mV正弦电压时， 测得放大器输出端的正弦电压为0.2 V(均指有效值)； 当信号源输出为零时， 测得放大器输出端噪声电压为10 mV 求放大器的等效输入噪声电压　　　某放大器输入端接地时， 输出噪声电压为10mV， 然后将一可调电阻接在输入端和地之间， 调节电阻， 直到输出噪声电压增加一倍， 此时可调电阻的阻值为12 kΩ， 则该放大器的等效噪声电阻为多大?　　　某放大器中心频率的电压增益为20。

若电压增益平方曲线下的面积为80 kHz， 试计算其等效噪声带宽　　　某放大器的信号源输出为零时， 测得放大器输出的噪声电压均方根值为30 μV， 当放大器输入端被短路时， 测得其输出的噪声电压均方根值为10 μV， 求该放大器的噪声系数F　　　试证明等效噪声温度与等效噪声电阻的关系为式中， Rs为信号源内阻　　　用噪声发生器测量放大器的噪声系数F时， 如果放大器的输入电阻Ri大于噪声发生器的输出电阻Rs， 则可在噪声发生器与放大器之间串联一个电阻R1=Ri－Rs， 使放大器输出噪声功率增加一倍时， 噪声发生器读数为F′， 试证明：。