关于导数“隐零点”问题的解读与探究 段惠莹[摘 要] 导数“隐零点”问题十分常见，探究学习需要掌握“隐零点”的含义与确定方法，以及问题突破的方法策略. 文章剖析导数“隐零点”，归纳解法，并结合实例加以探究，提出相应的建议.[Key] 导数;隐零点;单调性;最值;不等式;范围[⇩] 问题综述导数是研究函数问题的重要工具，利用导数可以求解函数综合题，而导数解决函数问题最终都要归结于函数单调性的判断，函数单调性与其零点密切相关，故导函数的零点是解题的核心. 实际问题中导函数的零点有两种类型，从零点是否可精准求解分为“显零点”和“隐零点”. 其中“隐零点”指的是能够判断其存在，但不能或难以确定其极值. 相对于一般零点问题，导数隐零点问题在解决时有一定的差异，下面具体探究其解题策略.[⇩] 实例分析问题：已知函数f（x）=x2-x-xlnx，试证明函数存在唯一的极大值点x，使得e-20，函数g（x）单调递增;所以当x=时，g（x）取得最小值. 由于g=-1+ln2<0，g（1）=0，g（e-2）>0，所以g（x）在0，上只有一个零点x，在，+∞上只有一个零点1.g（x）的正负性就是f′（x）的正负性，可判断f（x）的极值情形.分析可知x=x是函数f（x）唯一的极大值点，并且2x-2-lnx=0，x∈0，. f（x）=-x-+，所以f（x）<成立;又因为f（e-1）=e-2，而e-1∈0，，f（x）为极大值，故f（x）>e-2.综上可知，e-20恒成立，则原函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值;当a>0时，f′（x）>0，01，则ln>0，2---2ln=2-t--2lnt. 设g（t）=2-t--2lnt，则g′（t）=<0，即函数g（t）在区间（1，+∞）上单调递减，所以g（t）0，g（-3）≥0，g（2）≥0，可解得3≤m<4，所以m的取值范圍为[3，4）. 根据根与系数的关系可得t+t= -4，即logα+logβ=-4，所以log（α·β）= -4，可解得α·β=.评析：上述是关于参数取值范围问题，其中第（2）问设定了函数的两个互异零点，结合函数定义域可将其范围缩小，并构建相关的方程组，求出m的取值范围.[⇩] 反思教学导数是研究函数问题的重要工具，同样可用于隐零点问题中，上述所总结的三步策略及注意事项可用于多类型问题求解，是证明不等式、突破函数最值与范围问题的强有力的手段，下面开展教学反思，提出几点建议.1. 理解隐零点定义，总结确定方法“隐零点”本质上还是零点，是基于精准求解而设定的零点划分，学习时需要关注其本质，把握“难以精确定位”和“准确求极值”对“隐零点”的定义，故“隐零点”的存在性是一定的. 另外需要关注“隐零点”的确定方法，上述总结了零点存在性定理、函数图像、题设条件三种，理解方法原理，掌握方法技巧极为关键. 故教学中需要注重对“隐零点”两大内容的剖析，一是“隐零点”的定义设定，二是“隐零点”的确定方法，教学中可对比“显零点”，结合实例具体探究.2. 归纳三步策略，强化解析思维上述所归纳的“三步法”是求解导数“隐零点”的重要方法，构建了“零点判断→单调性分析→代入转化”的解析思路. 三步过程之间紧密相关，具有严密的逻辑顺序，严格按照该方法求解可实现问题的高效作答. 而在实际教学中，除了需要指导学生掌握“三步法”的构建思路外，还要注重解题引导，培养学生的解析思维. 让学生亲历探究过程，通过设问引导来完善学生的数学思维，从根本上提升学生的能力.3. 掌握转换方法，积累变形经验变形转换是求解导数“隐零点”问题的重要环节，将直接确定问题走向，该环节需要使用一定的方法技巧. 常见的转换方法有分离参数、变更主元、整体代换、分离函数等，对于涉及参数的不等式问题，可采用分离参数来简化，然后基于代数式构造函数来研究性质，同时配合整体代换实现函数的简洁化，而变更主元常用于导函数无法求出零点的情形. 教学中要指导学生掌握上述转换技巧的内涵，然后结合实例具体讲解，帮助学生积累简化经验，提升学生的运算能力.3194500589260 -全文完-。
