§23单位元逆元消去律及有限群的另一定义.docx
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§23 单位元逆元消去律及有限群的另一定义第 6 讲 §2—3 单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义 ( Identity inverses cancellation law and another definition of finite group ) 教学目的和要求：消去律是群这个代数体系所固有的代数特征，根据这个特征我们可以对有限群做出新的定义本讲要求学生能理解消去律的意义和有限群的新定义 本讲的重点和难点：有限群的另一定义的证明本身并不长，但要吃透证明过程中的每一步骤，并非易事，要求同学能弄通这一定理的证明过程 注意：本讲教材中的有些内容，已在前讲中讨论过了，所以在本讲中，对有些内容只需一带而过 一、复习 本节中的许多概念在上节里都已出现，这里只稍微地提一下 单位元 任一个群G中都在唯一的单位元e具有性质： "aÎG,ae=ea=a 注：如果G是加法群时，G中的单位元换叫做“零元”，记为“0” 逆元 群G中任一个元素a，都在G中有唯一的逆元a-1，具有性质： aa-1=a-1a=e. 注：如果G是加法群时，a的逆元改叫做“负元”，并记为“-a”. 群元素的指数律和倍数律 模n剩余类加群{Zn,+}={[0],[1],[2],L,[n-1]}. 课后思考题：模n剩余类集合Zn对于给定的“加法”确实能构成一个加法群。
那么对于整数的乘法是否也能成群？ 譬如规定：[i][j]=[ij]？为此，可做如下讨论. 如果{Z,×}成为群，那么单位元就只能是[1]——这一点凭直觉就能察觉出那么[0]会充当什么角色？[0]有逆元吗？ 既然{Z,×}不能成群那么令 Zn=Zn-{[0]}={[1],[2],L,[n-1]}. · 这样一来，{Zn,×}就能成群吗？仔细观察会发现新问题： 当n=6时，Z6={[1],[2],[3],[4],[5]}，而[2][3]=[6]=[0]这表明Z6对运算不封闭，故也成不了群. 试问: {Zn,×}有可能成为群吗?对n有什么要求? 结论1：当n=p—素数时， {Zn,×}必是一个群. 证明：·QZp={[1],[2],L,[p-1]} "[a],[b]ÎZp，则p不整除a，p不整除b. 由于p是素数，由素数的性质知p不能整除ab········由等价类的定义 Þ[ab]¹[0]，这表明[ab]ÎZp ·· "[a],[b]，[c]ÎZp，我们有 [a]([b][c])=[a][bc]=[a(bc)]=[ab][c]=([a][b])[c]. ·· "[a]ÎZp,[a][1]=[a]=[1][a],\[1]是{Zp,×}的单位元. · "[a]ÎZpÞp不整除a，由于p是一个素数Þ(p,a)=1,\存在u,vÎZ,使pu+av=1，即[pu+av]=[1]，]··· 但[pu+av]=[pu]+[av]=[0]+[av]=[av]=[a][v]，这表明有[v]¹[0]，使[a][v]=[1]Þ[v]是[a]的逆元，即[v]=[a]-1。
结论2：设{G,o}是一个monoid，令H={ggÎG且g可逆}，实证{H,o}是一个群. 证明：因为e是可逆的，所以H中有单位元eÞH¹Æ，其次"a,bÎH，那么a-1,b-1分别是它们的逆元， 即aa-1=a-1a=e,bb-1=b-1b=e， 于是(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e， 这表明：ab有逆元b-1a-1，\abÎH. 由于HÌ{G,o}，故H自然满足结合律，所以H是群. 注：从上述讨论中自然知道：若e是群G的单位元Þe-1=e,"aÎGÞ(a-1)-1=a，若a,b可逆Þab也可逆且(ab)-1=b-1a-1. 二、元素的阶 前一讲里，我们已介绍了群的阶：G=G中所含元素的个数. 下面利用单位元e，能引入另一个新概念: 定义1：设G为群，而aÎG. 如果有整数k，使ak=e，那么使这个等式成立的最小正整数m叫做a的阶，记为a=m. 如果这样的m不存在，则称a的阶是无限的，记为a=+∞. 例1 乘法群Z5={[1],[2],[3],[4]}中，[1]是单位元，显然[1]=1，而L,[2]12=[2]8=[2]4=[1],\[2]=4同理知[3]=4,[4]=2. ·例2 加法群{Z5,+}={[0],[1],[2],[3],[4]}中，[0]是单位元， \[0]=1,[1]=5,[2]=5,[3]=5,[4]=5 例3 加法群{Z,+}中，0是单位元. \0=1，而其它元素a,a=+∞. 例4 乘法群{R,×}中，1是单位元，\1=1,-1=2，而其它元素的阶都是无限. 注：加法群{G,+}中，元素的阶的定义自然需做相应的变化： 设aÎG，能够使ma=0的最小正整数m叫做a的阶，若这样的m不存在，则称a的阶是无限的，a的阶仍记为a. 例5 设G={e0,e1,e2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而G中的代数运算“o”是通常的乘法，那么{G,o}必为一个乘法群. 其中习惯上记为G3，叫做3次单位根群。
这里 e0=1,e1=事实上 -1+-3-1--3,e2=. 22·"ei,ejÎG,(eiej)3=ei3ej3=1´1=1ÞeiejÎG. 结合律显然成立. e0=1是G中的单位元. e0的逆元是e0，e1与e2互为逆元. 不仅如此，我们还知：e0=1,e1=e2=3. 定理1：每一个群G都适合消去律：ab=ab¢Þb=b¢L*ca=c¢aÞc=c¢L**证明：设a,b,b¢ÎG且有ab=ab¢，那么用a的逆元a-1左乘上等式两端： 三、有限群的另一定义 1. 问题的提出：若G是群，则G必满足封闭性结合律消去律但如果代数体系{G,o}能满足和，是否可断定G就是群呢？先看下面的例子： 代数体系{Z,×}显然满足封闭性结合律消去律，但{Z,×}不是群. 上例所以不能成为群，关键是Z为无限集，如果是有限集，那情形就不一样了 定理2：设G是一个有限集，若{G,o}满足封闭性结合律消去律，那么{G,o}一定是一个群. 证明： 先证ax=b在G中有解，"a,bÎG. 因为G是有限集，不妨设G=n，即G={a1,a2,L,an}，现用a左乘G中的每个元素，得到G¢={aa1,aa2,L,aan}. 由ÞG¢中每个aaiÎG(i=1,2,L,n)，所以G¢ÌG 又由于Þ只要i¹j，则aai¹aajÞG¢中也含有n个元素，于是G¢=G 又由于bÎG，即bÎG¢Þ$k(1£k£n)使aak=b,\ak是ax=b的解. 同理可以证明ya=b有解. 思考题及课后训练： 一、若G=+∞，即使{G,o}能满足封闭性、结合律和消去律，则{G,o}也不可能成为群，这种说法对吗？ 二、设G是个有限半群，那么G为群ÛG中有消去律成立. 三、设G是群，那么 "aÎG，若存在mÎZ+，使am=eÞa£m "aÎGÞa=a-1 证明：由于am=e，这本身说明a<+∞，令a=k，若k>m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k£m. 若a=m，那么am=e，另外(a-1)m=(am)-1=e-1=e，由知a-1£m，若a-1=nÞ(a-1)n=eÞ(an)-1=eÞan=e-1=e\a£n，于是有n£m，且m£nÞm=nn，即a=a-1. 注：在的证明中，用到“(a-1)k=(ak)-1”. 四、设G为群，那么 "a,bÎGÞ(ab)-1=b-1a-1. -1-1-1-1"a1,a2,L,am,ÎGÞ(a1a2Lam)-1=amam-1La2a1. 证明： 由数学归(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=a(e)a-1=aa-1=e,另外(b-1a-1)(ab)=e\(ab)-1=b-1a-1纳法可证。
五、For each of the following rules in a group G, tell us which is right. (1)Ifx2=e, thenx=e; (2) Ifx2=a2, thenx=a; (3)(ab)2=a2b2 (4) Ifx2=x, thenx=e; (5) Ifak=e, thena=k. 六、Let a,b,c and x be elements of a group G, On each of the following, solve for x in terms of a,b and c (1) If axb=c, then x= . (2) If x2b=xa-1c, then x= . (3) x2b=bxc-1 and acx=xac, then x= . (4) If ax2=b and x3=e, then x= . (5) If x2=a2 and x5=e, then x= . (6) If (xax)3=bx and x2a=(xa)-1, then x= . 七、Every element of group G is finite order if G is finite group. 证明：设G={a1,a2,L,am}，若aÎG且a=∞Þa,a2,a3,L,an+1都是G中的非零元，如果ai=aj且i
