九年级数学中考三轮复习专题二次函数动点与等腰三角形.doc

三轮复习专题：《二次函数动点与等腰三角形》1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6过点A（6，0），B（4，6），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，直线的解析式为y＝x，抛物线的对称轴与线段BC交于点P，过点P作直线的垂线，垂足为点H，连接OP，求△OPH的面积；（3）把图1中的直线y＝x向下平移4个单位长度得到直线y＝x﹣4，如图2，直线y＝x﹣4与x轴交于点G．点P是四边形ABCO边上的一点，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别为点E，F．是否存点P，使得以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6过点A（6，0），B（4，6），∴解得，∴，即该抛物线的解析式为；（2）∵该抛物线的对称轴为直线，∴CP＝2，如图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形，∴CM＝CP＝2，∴OM＝OC+CM＝6+2＝8，∴OH＝MH＝，∴S△OPH＝S△OMH﹣S△OMP＝；（3）存在满足条件的点P，理由如下：设直线l：y＝x﹣4与x轴、y轴交于点G、点D，则G（4，0），D（0，﹣4）．假设存在满足条件的点P．（a）当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合．设PE＝a（0＜a≤6），则PD＝4+a，PF＝PD＝，过点F作FN⊥y轴于点N，则FN＝PN＝，∴EN＝|PN﹣PE|＝|PF﹣PE|，在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF＝，若PE＝PF，则：a＝（4+a），解得a＝4（+1）＞6，故此种情形不存在；若PF＝EF，则：PF＝，整理得PE＝PF，即a＝4+a，不成立，故此种情形不存．若PE＝EF，则：PE＝，整理得PF＝PE，即 （4+a）＝a，解得a＝4．∴P1（0，4）．（b）当点P在BC边上时，如答图2﹣2所示，此时PE＝4．若PE＝PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE＝GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，∵∠OGD＝135°，∴∠EPF＝45°，即△PHF为等腰直角三角形，设GE＝GF＝t，则GK＝FK＝EH＝t，∴PH＝HF＝EK＝EG+GK＝t+t，∴PE＝PH+EH＝t+t+t＝6，解得t＝6 ﹣6，则OE＝4﹣t＝10﹣6 ，∴P2（10﹣6 ，6），（c）∵A（6，0），B（4，6），∴可求得直线AB解析式为：y＝﹣3x+18；联立y＝﹣3x+18与y＝x﹣4，解得x＝，y＝．当点P段BK上时，如答图2﹣3所示．设P（a，18﹣3a）（4≤a≤），则Q（a，a﹣4），∴PE＝18﹣3a，PQ＝22﹣4a，∴PF＝（22﹣4a）．与a）同理，可求得：EF＝，若PE＝PF，则18﹣3a＝（22﹣4a），解得a＝10+3＞，故此种情形不存在；若PF＝EF，则PF＝，整理得PE＝PF，即18﹣32a＝•（22﹣4a），解得a＝4，符合条件，此时P3（4，6）；若PE＝EF，则PE＝，整理得PF＝PE，即 （22﹣4a）＝（18﹣3a），解得a＝＜4，故此种情形不存在．（d）当点P段KA上时，如答图2﹣4所示．∵PE、PF夹角为135°，∴只可能是PE＝PF成立．∴点P在∠KGA的平分线上．设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM＝MN，MD＝MN，由OD＝OM+MD＝4，可求得M（0，4﹣4 ）．又因为G（4，0），可求得直线MG的解析式为：y＝（ ﹣1）x+4﹣4 ．联立直线MG：y＝（ ﹣1）x+4﹣4 与直线AB：y＝﹣3x+18，可求得：P4（10﹣3 ，9﹣12）．（e）当点P在OA边上时，此时PE＝0，等腰三角形不存在．综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，4）、（4，6）、（10﹣3，9 ﹣12）、（10﹣6 ，6）．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵C（0，4），∴OC＝4，∵OA＝OC＝4OB，∴OA＝4，OB＝1，∴A（4，0），B（﹣1，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把C（0，4）代入得a•1•（﹣4）＝4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+3x+4；（2）作PD∥y轴，如图，易得直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），∴PD＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，∴S△PAC＝•PD•4＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，S△PAC有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（2，6）；（3）存在．∵OA＝OC＝4，∴AC＝4，∴当QA＝QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；当CQ＝CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（﹣4，0）；当AQ＝AC＝4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4﹣4，0），综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（﹣4，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝90°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．4．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接BC，过点P作PE⊥AB交BC于点E，∵抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3与与y轴交于点C，∴点C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3）∴四边形BDCP面积＝×2×3+×3×（﹣m2+2m+3+m﹣3）＝﹣（m﹣）2+∴当m＝时，四边形BDCP面积的最大值为；（3）∵OC＝OB＝3，∴∠CBO＝45°，若OB＝QB＝3，∵∠QBM＝45°，QM⊥AB，∴∠BQM＝∠QBM＝45°，∴QM＝BM＝＝，∴OM＝OB﹣BM＝3﹣，∴t＝＝（s），若OQ＝BQ，且QM⊥AB，∴OM＝OB＝，∴t＝＝s综上所述：当t＝s或s时，使得△BOQ为等腰三角形．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），且与x轴交于另一点B，将抛物线的顶点记为D．（1）求该抛物线的表达式；（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．如图，y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．∴D（1，4），①若以CD为底边，则P1D＝P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，∴x＝，∴y＝4﹣x＝，即点P1坐标为（，）．②若以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．6．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由．解：（1）设解析式y＝a（x﹣1）（x+3）将C（0，3）代入得 a＝﹣1∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线C1的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∴抛物线C1的顶点为（﹣1，4）∵将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，∴抛物线C2解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+4，抛物线C3解析式为：y＝（x﹣3）2﹣4，∵点E为抛物线C3的顶点，∴点E（3，﹣4），∴BE═＝2，∵点F抛物线C2的对称轴上，∴点F横坐标为3，若BE＝EF＝2，则点F坐标为（3，﹣4+2）。