中考数学一轮综合培优测试卷：（培优）二次函数一、单选题1．二次函数 y=x2+4x+a 的最小值是2，则a的值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．72．已知二次函数的图象（-0.7≤x≤2）如图所示关于该函数在所给自变量x 的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值1，有最大值2 B．有最小值-1，有最大值1C．有最小值-1，有最大值2 D．有最小值-1，无最大值3．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 (0,−2) ，且直线 l//x 轴.若直线 l 与二次函数 y=3x2+a 的图像交于 A ， B 两点，与二次函数 y=−2x2+b 的图像交于 C ， D 两点，其中 a ， b 为整数.若 AB=2 ， CD=4 .则 b−a 的值为( ) A．9 B．11 C．16 D．244．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0），且a＋b＋c＝－1，a﹣b＋c＝－3．判断下列结论：①抛物线与x轴负半轴必有一个交点；②b＝1；③abc＞0； ④2a＋2b＋c＜0；⑤当0≤x≤2时，y最大＝3a，其中正确结论的个数（ ）A．2 B．3 C．4 D．55．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．y=ax26．如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=−1 ，且过点 (12，0) ，有下列结论：①abc ＞0；②a−2b+4c ＞0；③2a+b=0 ；④3b+2c ＞0.其中正确的结论是（ ） A．①③ B．①④ C．①② D．②④7．如图，在4×4的网格中，每一个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.若抛物线y＝x2+bx+c的图象至少经过图中（4×4的网格中）的三个格点，并且至少一个格点在x轴上，则符合要求的抛物线一定不经过的格点坐标为（ ） A．（1，3） B．（2，3） C．（1，4） D．（2，4）8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），下列结论：①ab＜0，②b2-4ac＞0， ③a-b+c＜0， ④c=1， ⑤当x＞－1时，y＞0.其中正确结论的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．已知函数y＝﹣x2的图象上有三个点：A(﹣3，y1)，B(﹣1，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y210．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（ ）A．3 B．2 6 C．3 2 D．211．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，－1），C（2，2），抛物线 y=ax2 （a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）A．a≤－1或a≥2 B．－1≤a＜0或0＜a≤2C．－1≤a＜0或1＜a≤ 12 D．12 ≤a≤212．已知二次函数y=x²-2x+2(其中x是自变量)，当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1，则a的值为( ) A．a=1 B．1≤a<2 C．10）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），其中点A（﹣1，0），C（0，c），其中2≤c≤3，对称轴为直线x＝1，①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0 ；③二次函数的最大值的最小值为4；④﹣1≤a≤﹣ 23 .则其中正确结论的序号为 . 15．从有理数-3、-2、 −32 、-1、 −12 、0、 12 、1、 32 、2、3中，任意取一个数作为 a 的值，使得关于 x 的方程 2ax−1+xx+2=1 有实数解，且二次函数 y=(a−3)x2+2ax+a+1 与 x 轴有交点，则满足条件的所有 a 的值的积是 . 16．已知点A（-5，m），B（-3，n）都在二次函数y= x2- 3的图象上，那么m、n的大小关系是：m n．（填“＞”、“=”或“＜”） 17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个 ．18．矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ． 三、综合题19．已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，-4）．（1）求此函数图象抛物线的顶点坐标； （2）直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围． 20．已知抛物线 y=−x2+(m−1)x+m 经过点 (2,3) .（1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标；（2）当 x 取什么值时， y 随着 x 的增大而减小？21．已知二次函数 y=x2−4x+3 ，设其图像与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标； （2）△ABC的面积． 22．如图，已知二次函数y＝ 12 x2﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）. （1）求该二次函数的表达式.（2）求该二次函数图象的顶点坐标.（3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3.请根据图象直接写出n的取值范围.23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一点，∠ABD=2∠BAC，直接写出点D的坐标．24．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2—4mx+2m2+1，和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】y31 时，函数y随自变量增大而减小．20．【答案】（1）解：由题意得 -4+2（m-1）+m=3 解之：m=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 ∴y=-（x-1）2+4∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）解：∵a=-1＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小.21．【答案】（1）解：∵y=x2−4x+3=(x−1)(x−3) ， ∴二次函数 y=x2−4x+3 的图象与x轴交点分别是A（1，0），B（3，0）；令x=0，则y=3，即点C的坐标是（0，3）；（2）解：由（1）知，A（1，0），B（3，0），C（0，3）， 则 S△ABC=12·AB·3=12×2×3=3 ，即△ABC的面积是3．22．【答案】（1）解：把点P（﹣3，6）代入y＝ 12 x2﹣x+c中， 得：6＝ 12 ×（﹣3）2﹣（﹣3）+c，解得：c＝﹣ 32 ，∴该二次函数的表达式为y＝ 12 x2﹣x﹣ 32 ；（2）解：y＝ 12 x2﹣x﹣ 32 ＝ 12 （x﹣1）2﹣2， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）；（3）解：n的取值范围﹣2≤n＜6. 23．【答案】（1）解：在y=−12x+2中，当y=0时，x=4；当x=0时，y=2，∴A(4，0)，B(0，2)，把A(4，0)，B(0，2)代入y=−12x2+bx+c中，得c=2，−12×16+4b+c=0.∴b=32，c=2.∴y=−12x2+32x+2．（2）解：D点坐标（2，3）；24．【答案】（1）解：设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k， 当a=2，h=3，k=4时， 二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4． ∵2＞0， ∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时， 二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4． ∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）解：∵y1的图象经过点A（1，1）， ∴2×12−4×m×1+2m2+1=1整理得： m2−2m+1=0解得： m1=m2=1∴y1=2x2−4x+3 =2(x−1)2+1∴y1+y2=2x2−4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b−4)x+8∵y1+y2为y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=(a+2)(x−1)2+1=(a+2)x2−2(a+2)x+(a+2)+1其中 a+2>0 ，即 a>−2∴b−4=−2(a+2)8=(a+2)+1解得： a=5b=−10∴ 函数 y2 的表达式为： y2=5x2−10x+5=5(x−1)2∴ 函数 y2 的图象的对称轴为 x=1∵5>0∴ 函数 y2 的图象开口向上①当 0≤x≤1 时， ∵ 函数 y2 的图象开口向上∴ y2 随x的增大而减小，∴ 当x=0时， y2 取最大值，最大值为 5×(0−1)2=5②当 1≤x≤3 时， ∵ 函数 y2 的图象开口向上∴ y2 随x的增大而增大，∴ 当x=3时， y2 取最大值，最大值为 5×(3−1)2=20综上所述：当 0≤x≤3 时， y2 取最大值为20． 学科网（北京）股份有限公司。
