数值分析第五章小结.docx

第五章 插值与逼近 学习小结一、 本章学习体会本章主要学习了插值与逼近的知识，重点掌握各种插值的算法以及函数的 最佳平方逼近同时正交多项式也应当理解掌握在插值这个模块，其可分为以下四种：代数插值、Hermite插值、样条插值 和三角插值而在插值中要用到各种基函数(主要是运用正交多项式，可分为以 下四种：legendre多项式、chebyshev多项式、laguerre多项式和hermite多项式) 同时在函数的最佳平方逼近中，应当了解拟合主要有曲线拟合和曲面拟合在拟 合过程中，应尝试拟合各种函数，进行比较以到达得出最佳函数以下是通过本章学的知识分别对插值、拟合、最佳平方逼近的区别插值是 指已知某些若干的离散点，得该函数在给定离散点上满足约束，即使所求插值函 数满足离散点，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，可求出插 值函数拟合是指已知若干的离散函数值，通过调整拟合函数中若干待定系数 , 使得该函数与已知点集的差别最小最佳平方逼近是指通过在给定的函数集中找 到一个连续的函数，使得函数与已知的函数的之间的差本身做内积，使得内积最 小的函数是所求的函数，最佳平方逼近是找一个连续的函数取代替原来连续的函 数，而插值和拟合是通过一些离散的点，求的一个连续的函数，通过这个函数求 一些未知的点。

二、 本章知识梳理5.1代数插值：(包括一元函数插值和二元函数插值)…重点掌握(1) Lagrange 插值：x — x① 插值基函数：l (x) = rt i- (k = 0,1,...,n)；k x —x祭0 k丿② 插值多项式：p (x) = 2 l (x)f (x )；n k kk=0③几何意义：拉格朗曰(Lagrange)插值的几何意义线性插值(―丄)xo — xf — xoLagrange插值的基函数比较简单，但是它没有继承性同时，它的插值多项式 具有振荡性2)newton插值法①差商及其性质差商也称为均差，是导数的离散形式，期定义：设有函数f(x)以及自变量的一 系列互不相等的X0,X],X2,...,Xn的值f(x.)，其中f [x , x ] = ~Zj) (i丰j, x丰x )为f (x)在点X. , x.处的一阶差商，并记i j x - x i j 1 ji j心 十 f [ x , x ] - f [ x , x ] 、「 亠一作 f [Xj , Xj]；而 f [x , x , x ] = i k i j (i 丰 k)为 f (x)在点 x., x., x1处的二阶差商。

②插值多项式:N (x) = a + a (x — x ) + a (x — x )(x — x ) + •…n 0 1 0 2 0 1+ a (x — x )(x — x )••• (x — x )n 0 1 n—1③插值余项：R (x) = f (x) - N (x) = f [x, x , x，…,x ]①(x) n n 0 1 n n+15.2 Hermite插值…重点掌握5.3样条插值…重点掌握5.4三角插值与快速fourier变换…理解掌握5.5正交多项式…重点掌握以下是几种常用的正交多项式：①Legendre多项式：(x)三 1L (x)=n1 . dn2nn! dxn[(x 2 — 1)n ], n = 1,2,...②Chebyshev多项式:T (x) cos(n arccosx), 1 x 1 n③ Laguerre多项式：dn (xne x)U (x) ex ,n 0,l,・n dxn④ Hermi te多项式：H (x) ( 1)nex2 dn(e x2)?n 0,1,.n dxn5.6 函数的最佳平方逼近…重点掌握(1)函数的最佳平方逼近 ①最佳平方逼近概念：(f ,f ) min( f ,f )Hn②最佳平方逼近的条件：(f p*, ) 0 ；j；③最佳平方逼近元素是唯一的；p*(x) ④最佳平方逼近元素的求法nc* k k0(x)k求系数C：；⑤ 最佳平方逼近误差 (f p ,f p )(2)函数的曲线拟合 ①曲线拟合的最小二乘法[ * (x ) y ]2 min [ (x ) y ]2 i i i ii 0 D i 0②拟合曲线的求法D span{ (x), (x),・・・， (x)},n m0 1 n*(x) c* (x) Djjj0A[,01[c ,c ,・・,c ]r0 1 n法方程：AT AcAT y三、 本章思考题曲线拟合的最小二乘法有何特点？【分析】：最小二乘法要求拟合曲线的残差平方和达到最小，从理论上讲， 是确定拟合函数的组合系数使残差平方和最小。

从算法上看，是将超定方程组转 换为正规方程组求解这种方法不仅可以用于求解曲线拟合问题，而且可以用于 求超定方程组的最小二乘解把一个超定方程组的问题转化为对应的正规方程组 的求解问题正规方程组的解被称为原超定方程组的最小二乘解四、 本章测验题例：节点和相应的函数 x=[-2;-1;0;1;2];y=[-0.1;0.1;0.4;0.9;1.6];试用最小二乘拟合的方法拟合上述节点，选用三次多项式，其基为 span={1,x,xA2,xA3}【分析】：我们可通过 MATLAB 计算结果如下：其中MATLAB程序如下(文件名为：zxec.m)：function [c,jiegui,wcpfh]=zxec(x,y) n=length(x);for i=1:n a1(i,1)=fun1(x(i));endfor i=1:na2(i,1)=fun2(x(i));endfor i=1:na3(i,1)=fun3(x(i));endfor i=1:n a4(i,1)=fun4(x(i));endA=[a1,a2,a3,a4]a=A'*Ab=A'*y;c=a\b;syms t jiegui=c(1).*1+c(2).*t+c(3).*tA2+c(4).*tA3;w=0;wcpfh=0;for i=1:nt=x(i); w=(c(1)*1+c(2)*t+c(3)*i2+c(4)*i3-y(i))人2; wcpfh=wcpfh+w;endwcpfh;endfunction y1=fun1(x)y1=1;function y2=fun2(x)y2=x;function y3=fun3(x)y3=xA2;function y4=fun4(x)y4=xA3;经过运行所得结果为：A =1-24-81-11-1100011111248a =501000100341003400340130c =0.40860.39170.08570.0083jiegui=0.4 0 8 6+0 ・3917*t + 0・ 0857*12 + 0.0083*13 wcpfh =1.4286e-04 【注】：在这里我们所用到的知识点有：①曲线拟合的最小二乘法y ]2i迟[Q *( x) 一 y ]2 = min 迟[Q( x) 一iii =0 QeD i =0Q*(x) = £ c*Q (x) e Djjj=0②拟合曲线的求法D = span{^ (x),Q (x)，…，Q (x)}，n < m0 1 nA =［①0，①1,…，①n］，C =叫吟…，Cn］T③法方程为ATAC = ATy。