数一真题、标准答案及解析(超强版).docx

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1ln1^2)(1) lim(cosx) =x 022 ...._(2)曲面z x y与平面2x 4y z 0平仃的切平面的万程是(3)设 x2 an cos nx(n 0x )，贝1 a2=(4)从R2的基11到基111 1,2 的过渡矩阵为1 2(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x, y)6x,00,x y其他,1,则 P{ X Y 1}(6)已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布N( ,1),从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为40 (cm),则 的置信度为0.95的置信区间是 (注：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在(，)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点 ^(B)两个极小值点和一个极大值点 ^(C)两个极小值点和两个极大值点 ^(D)三个极小值点和一个极大值点 .A 工 O x(2)设{an}, {bn}, {cj均为非负数列，且liman n(A) an bn对任意n成立. (B) bn0,lim bn 1,lim a n ncn对任意n成立.，则必有(C) 极卜Mlimang不存在.n(D)极卜M lim bng不存在. [ ]n(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx 0,yf (x, y) xy0/2 2 20 (x y )(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点(4)设向量组I：1, 2,, r可由向量组II：1, 2,, s线性表示，则(A)当r s时，向量组II必线性相关.(B)当r s时，向量组II必线性相关.(C)当r s时，向量组I必线性相关.(D)当r s时，向量组I必线性相关.[](5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题:①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B);②若秩(A)秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A尸秩(B);④ 若秩(A)=秩(B), 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) ①②.(B) ①③.(C) ②④.(D) ③④.[]、…r、01(6)设随机变量X~t(n)(n 1),Y 1，则X22 ,(A) Y ~(n).(B) Y ~ (n 1).(C)Y~F(n,1).(D) Y~ F(1,n).[]三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形 D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分 12分)1 2x( 1)n ,一将函数f(x) arctan展开成x的募级数，并求级数--二的和.1 2xn 02n 1五、(本题满分 10分)已知平面区域 D {(x,y)0 x ,0 y }, L为D的正向边界.试证：,、sin ysin xsin ysin x ।(1) Lxedyyedx jedy ye dx;sin ysin x2(2) xedyyedx2 .六、(本题满分 10分)设土层a m.根据某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0).汽锤第一次击打将桩打进地下设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(00时，F(t) 2G(t).九、(本题满分10分)322设矩阵A2322231**P A P ,求B+2E的特征值与特征向量，其中 A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、(本题满分 8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 :ax2by3c0,12: bx2cy3a0,13: cx2ay3b0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b cH ■、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有0.3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求:(1)乙箱中次品件数的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本 X1,X2, ,Xn，记? min(X1,X2, ,Xn).(1)求总体X的分布函数F(x);(2)求统计量？的分布函数F?(x);(3) 如果用?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性2003年考研数学一真题评注、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1in(1^2)(1) lim (cos x)【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式limg(x),Af (x) (1)=elim( f (x) 1)g(x)进行计算求极限均可- lim 2- ln cosx【详解 1】lim (cosx)ln(1 x) = ex °ln(1 x)x 0sin x而Xm0ln cosxln(1x2)ln cosx lim x 0 x2lxm0cosx2x故原式=e【详解2】因为lim (cosx x 01)ln( 11 2—x lim —22— x 0 x21所以原式=e 2(2) 曲面zy与平面2x 4 yz 0平行的切平面的方程是2x 4y z 5.【分析】 待求平面的法矢量为 n {2,4,1},因此只需确定切点坐标即可求出平面方程 ，而切点坐标可根据曲面z x2 y2切平面的法矢量与 n {2,4,1}平行确定.【详解】令F(x, y,z) z x2 y2 ,则Fx 2x, Fy 2y, Fz 1.设切点坐标为(x0, y0, z0)，则切平面的法矢量为{ 2x0,2y0 1},其与已知平面 2x 4y z 0平行，因此有2x02y0可解得 x0 1, y02,相应地有Zo2Xoy； 5.故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y2)(z 5)2x4y z5.(3)设 x2an cos nx(则a2 =【分析】将 f (x) x2()展开为余弦级数2/ /xan cosnx(n 0),其系数计算公式为anf (x) cosnxdx.sin2x 2xdx0根据余弦级数的定义,1 r 2• o=—[x sin2x1 xd cos2x01[xcos2xcos2xdx]1到基1的过渡矩阵为【分析】n维向量空间中，从基n到基n的过渡矩阵P满足2 , , n ]=[ 1 ,n]P,因此过渡矩阵P为:P=[n]1[【详解】根据定义,2R的基到基的过渡矩阵为P=[ 1,2]1[2](5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为=1.本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算2 ,1(4)从R的基1, 20则 P{ X Y已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)求满足一定条件的概率P{g(X,Y) z。

}, 一般可转化为二重积分P{g(X,Y) Z0}=f(x,y)dxdy 进行 at算.g(x,y) Z0由题设，有1o2(6x 12x2)dx【评注】本题属基本题型,但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x y 1的公共部分D,再在其上积分即可(6)已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布 N( ,1),从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)【分析】已知方差2 1 ,对正态总体的数学期望进行估计，可根据X-N(0,1),由1 _ n确定临界值u ,进而确定相应的置信区间 22.0.95,可见 0.05.于是查标准正态分布表知u 1.96.本题n=16,22.X 40,因此，根据P{1.96} 0.95,有P{401.161.96} 0.95,即P{39.51,40.49} 0.95 ,故的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在()内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有(D) (E) (F) (D)一。