高等数学：10-1级数.ppt

解解则则即即空间曲线积分与路径无关的条件空间曲线积分与路径无关的条件用用定积分表示为定积分表示为三、物理意义三、物理意义------环流量与旋度环流量与旋度1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :.),,(),,(),,(),,(按所取方向的环流量按所取方向的环流量沿曲线沿曲线称为向量场称为向量场上的曲线积分上的曲线积分中某一封闭的有向曲线中某一封闭的有向曲线则沿场则沿场设向量场设向量场CARdzQdyPdxl dACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACCrrrrrrrrò òò ò+ ++ += = = =G G+ ++ += =2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :9-4 6（（1））这里是有向折是有向折线线可选路径可选路径AEFC，则，则请请思考：能否思考：能否取折线取折线Leonhard Euler (1707-1783)我国早在魏晋时代我国早在魏晋时代 ( (公公元元 200-350200-350年年 ) )，，刘徽刘徽已经用无穷级数的概念已经用无穷级数的概念来计算圆的面积了直来计算圆的面积了直到到1818世纪，瑞士数学家世纪，瑞士数学家和物理学家和物理学家欧拉欧拉开辟了开辟了无穷级数的理论研究。

无穷级数的理论研究一、问题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积　　　 从上例可知：从上例可知：无限和无限和可能存在（例可能存在（例1、、2），可能不存在（例），可能不存在（例3），），无限和无限和是与是与有限和有限和有重大区别的新概念．有重大区别的新概念．　　 那么，在什么条件下那么，在什么条件下无限和无限和是一是一个确定的数？在什么条件下个确定的数？在什么条件下无限和无限和不不是一确定的数，这就构成了研究数项是一确定的数，这就构成了研究数项级数最基本的问题．级数最基本的问题．二、级数的概念二、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: :(数列项数列项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列级数的部分和级数的部分和2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :余项余项无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形．如此的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形——“Koch——“Koch雪花雪花””．．观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推播放播放周长为周长为面积为面积为第第 次分叉：次分叉：于是有于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．雪花的面积存在极限（收敛）．解解 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上论级数论级数 的敛散性的方法就成为研究无穷级数的敛散性的方法就成为研究无穷级数根据定义来讨论无穷级数根据定义来讨论无穷级数 的敛散性的敛散性 , 将面临部分和数列将面临部分和数列 Sn 的计算的计算 ( 即即 n 项求和问题项求和问题 ) .于是研究出不从定义出发于是研究出不从定义出发 ( 从而回避从而回避 Sn 的计算的计算) 讨讨 问题的关键问题的关键 .为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质 从上面例子可知从上面例子可知:三、基本性质三、基本性质结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .解解证明证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证明证明注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛收敛 发散发散四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件证明证明级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .五、小结五、小结数项级数的基本概念数项级数的基本概念基本敛散法基本敛散法作业作业习题习题10-1. 1；； 2（（3）；）； 5.。