信号与系统：第二章 Linear time-invariant systems.ppt

2.0 引言1.信号分析的基本思想将信号分解成简单基本单元信号的线性组合g认识信号特性 时域分析: 以d(t)或dn 作为构成信号的基本单元 频域分析：以e jw t 或 e jw n 作为分解信号的基本单元 变换域分析：以e s t 或 z n 作为分解信号的基本单元2. 系统分析主要研究对象：线性、时不变系统g LTI系统 求已知系统对给定输入信号所产生的响应 已知系统的激励与响应，确定系统的特性 为系统建立数学模型； 对数学模型进行求解； 对所得到的解，赋予物理的解释三种分析方法：系统分析任务：分析的基本过程包括：时域分析法、频域分析法、变换域分析法3.求解系统响应的基本思想4. 本章主要内容如果： 用d (t)分解x (t)，由卷积积分求得LTI系统的响应 用d n 分解x n，由卷积和求得LTI系统的响应 在对信号进行时域分解的情况下，研究LTI系统的性质2.1 离散时间LTI系统: 卷积和2.1.1 d n的线性组合g离散时间信号例任何信号x n都可被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合2.1.2 离散时间单位脉冲响应与 LTI系统的卷积和表示假设, d n -k g h k n,x1d n-1 g x1 h1nx0d n g x0 h0nx-1d n+1 g x-1 h-1n求和号中各项的响应d n g h0nd n-1 g h0n-1d n+1 g h0n+1g h ng x1 hn-1g x0 h ng x-1 hn+1求和号中各项的响应 信号x n的响应 单位冲激响应已知: d n g h n，卷积和(The convolution sum) h n 的物理意义： 系统在时域的表示！ Representation of systems in time domain.单位脉冲响应(Impulse Response) 卷积和的计算例，计算下面的卷积：= x0hn-0+x1hn-1 =0.5 h n + 2 hn-1y0n +y1n +g y n先计算每时刻输入信号产生的响应函数方法2：h n g反转、平移n g h n - k的波形图解法计算卷积：反转平移g h n - k从n=-开始确定y n0区间对各个n计算y n先计算每时刻响应y n 的数值g n时刻的响应值用图解法计算例题2.4解：对h k反转平移, 确定重叠区 0n 4,4n 6,6n 10,n 64函数值h0在k坐标上的位置g n = k计算：n0,n10, y n 0综合各项小结图解法计算卷积： 2. 解析法求卷积和n 0例，Ex. 2.3求卷积和yn。

解： 利用波形重叠区间，确定y n 0的区间 y n的积分上下线取法有三种2.2连续时间 LTI 系统：卷积积分2.2.1用d (t)分解连续时间信号x (t) x (t) 的近似表示gx (t) g x(-2D) d D (t -2D) D g x(-D) d D (t -D) D g x(0) d D (t) Dg x (D) d D (t-D) D令 用d (t)表示x (t)D m , D g0 , k D g t , D g d t,x (k D) g x (t) d D (t k D) g d (t - t),2.2.2 单位冲激信号的响应 与系统响应的卷积积分表示假设 d D (t k D) gh k D (tk D) g ht (t -t) g h (t -t) h (t) _ 系统的表示x (t) gd D (t k D) g d (t t) d (t t) g 卷积积分的计算计算方法：解析法、图解法和数值解法 作坐标变换，x (t)不动，h (t -t)反转后随参变量t平移图解法借助于离散时间信号的图解法求卷积： 通过图形确定三个积分区间，以及相应的积分上下限 对每个积分区间的x (t)和h (t -t)相乘后，计算积分g y (t). 1. 卷积积分的解析计算例，Ex. 2.6 假设 h (t) = u (t)解：例，Ex. 2.8 假设 h (t) = u (t-3)求系统h (t)对x (t)的响应。

求系统的响应2. 图解计算： 波形重叠区0tT, a =0, b= tTt2T, a =0, b=T2Tt3T, a =0, b=T 反转平移 相乘积分Ex.2.7，0 t n时，h n - k= 0g h (t) = 0 for t 0例，因果系统：h n = u n;h n = d n d n-1因果信号:如果 x n = 0 for n 0，或者 x (t) = 0 for t 0，g h n = 0 for n 0 x n /x (t)称为因果信号2.3.7 系统的稳定性 离散时间系统h This is the condition of stability. 连续时间系统 例h n = d n-n0又例，h n = u n，2.3.8 LTI 的单位阶跃响应s n / s (t) 假设已知 h n、 x n = u n： 假设设已知h (t)、 x (t) = u (t)：*高等数学 g 积分学g含参数积分g 积分号下的微分法s n/ s (t) g h n/ h (t)2.4 因果 LTI系统的微分/差分方程描述x n g y n, h n,x (t) g y (t), h (t),差分方程微分方程因果 LTI 系统2.4.1 连续时间LTI系统的微分方程描述: 线性常系数微分方程Linear Constant -Coefficient Differential Equation（LCCDE）均为常数方程的一般形式： 常系数线性微分方程的通解 对应齐次方程的通解+ 一个特解 a homogeneous solution + a particular solution 通解(奇次解) 特解通解y h (t)：特解y p (t)：与输入有关的一个解。

例， 全解：根据初始条件x (t)=0 当t 0，N阶奇次方程通解有N个待定系数Ckg y (t)=0 当 t 0，A=-K/5 通解的待定系数用于确定Ck的条件称为附加条件 线性系统的初始条件g具有零初始条件的LCCDE才能描述线性系统.即所有初始条件都为零.系统在t 0，x (t) = 0时， g y (t)=0，包括，y(0) = y”(0) = =0在t = 0(输入信号加入)的时刻给出的附加条件也称为初始条件：y(0)， y(0)， y”(0)， . 由零初始条件的LCCDE描述的系统g初始是静止的/最初是松弛的 如果LCCDE有一组非零初始条件，它描述的系统是增量线性的2.4.2 线性常系数差分方程(LCCDE) 全解 = y p n + y h n 当初始条件全为零时，该系统是线性、 因果、时不变的 一般解法 线性系统的响应是： 零初始条件的响应 g 零状态响应 增量线性系统的响应零输入响应零状态响应 迭代的方法求解若已知：y- 1, y- 2, , y- N ，g y0由 y n, , y n N+1 , x n+1, , x n M+1, x0,由y0, y1, , y n N+1 , x1, x0, g y1g yn+1依此类推可求出所有n 0 时的解.由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程。

recursive equation）递归系统 FIR与IIR系统有限长单位脉冲响应系统A finite impulse response (FIR) system非递归方程/系统递归系统g无限长单位脉冲响应系统A infinite impulse response (IIR) system.例, Ex. 2.15:解:求输入为x n=K d n时系统的响应以及系统的单位脉冲响应.2.4.3 微分/差分方程描述的一阶系统的框图表示g有助于系统的分析、模拟仿真、设计与实现 基本运算单元:差分方程 微分方程 积分器与微分方程的联系一阶差分方程 一阶微分方程一阶系统的框图化简 将y (t) / y n移至方程右边作为加法器输出，其余各项作为加法器的输入.2.5 奇异函数(Singularity Function)例 y (t)= 3+5(t+1)2,2.5.1 d (t)是许多短脉冲的理想化信号d (t) !As D g 0,r D (t) g d (t) 1. 类似于d (t)的其它信号2.分析短脉冲信号g d (t)的条件As D 0.0025, y 1,2,3,4(t) g h (t),D 0.00025时y 1,2,3,4(t) g h (t)当D 0.0025, 所有输入信号g d (t).看图2.352.5.2 通过卷积定义d (t) 定义1当 x (t) = 1时时, 定义2当t = 0时, 根据分配函数理论,一个信号g (t),经过一个测试系统后被赋值, 在数学上就表示为: g (t)信号与表征系统特性的分配函数相乘后的积分. 如果信号g (t)经过测试系统后被赋的值, 是信号在t=0时刻的值, 这时表征系统特性的分配函数就是d 函数.由定义1可推出：321d (t)是偶函数54由定义2可推出以下特性d (t)是偶函数 d 函数的微分单位冲激偶 单位冲激偶的波形 单位冲激偶的积分定义当t = 0时， 单位冲激偶u1(t)的特性21由特性2可得：3单位冲击偶 是偶函数 根据任何偶函数的导数为奇函数，对于分配函数此规律也符合。

任何普通函数与冲击偶相乘d (t)*h (t) = u1(t),d 函数的k阶微分k阶微分The integral of d (t)是一个积分器 d (t)的高次积分斜变/斜坡/斜升信号常规函数两个积分器的级联：本章小节：2. LTI系统的时域分析1. 信号的时域分解:3. LTI系统的描述方法：(1)用h (t)、 h n或s (t)、 s n描述LTI系统；(2)用常系数线性微分/差分方程连同零初始条件描述LTI系统(3)用系统方框图描述系统；4. LTI系统的特性与h (t)、 h n的关系：(1)记忆性、因果性、稳定性、可逆性与h (t)、 h n的关系；(2)系统的互联：级联时,并联时，5. d函数的特性Formulas in common used相当于将函数本身延迟t2。