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§214无理方程 §21.4无理方程 普陀区课题组 教学目标： 1．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念． 2．经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想． 3．知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法． 教学重点及难点：无理方程的解法． 教学过程： 教师活动 我们已经学习了整式方程、分式方程，还有没有其它类型的方程呢？ 一、问题引入 已知平面直角坐标系内的A、B两点，学生活动 猜想：有的． 设计意图 引发学生的思考，带着困惑和好奇学习新知． 通过实例引入，使学生感受到无理方程的存在和学习它的必要．课本中的问题1可根据学生的其中点A坐标(1,3)，点B是x轴上的点，预设： 且A、B两点间的距离等于5，求点B的坐答：由点B在x轴上，可设B点标． 坐标为(x,0)． 由两点间距离公式，得∶ 问：方程(x-1)即：2+(0-3)22=5 (x-1)2实际情况选择． +9=5有什么特点？与答：方程中含有根号，且根号里引导学(x-1)+9=5 前面所学的方程有什么不同？ 含有未知数． 生观察所得方程的特点，再归纳无理方程的概念． 要让学生知道，无理方程中不仅含有根式，而且根号内含有未知数． 方程中含有根式，且被开方数是含有未 知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 例如：x+3+1x+3x-6=2、3x+2=1+x、2预设： 1 =5等都是无理方程． 无理方程也叫根式方程． 练习：判断下列关于x的方程是不是无理方程． (1)x+32答：、、、是无理方程，方程中有根式，且根号2 5x+1=0；(2)x+5x+1=0；内含有未知数． 及时巩固新知，强化(3)x+1-7=0；(4)a-1+2x=7； 、根号内不含未知数，对无理方程是整式方程；、是分式概念的理解． 方程． 感受知识的分类，帮助学生形成关于代数方程系统的整体认识． 用问题引导学生进行探索，并联系解分式方程的基本思想方法，从而归纳出解无理方程的方法． 让学生参与求解这个无理方程的分析过程，形成解题思(5)x+1x=2；(6)1x+3+x2-x2x= 3；(7)x-1-2x+3=0；(8)+ 7=1．2、代数方程 整式方程和分式方程统称为有理方程． 、、、是有理方有理方程和无理方程统称为初等代数方程，8个都是代数方程． 程，简称代数方程． 师：代数方程可以这样分类： ìï有理方程代数方程íïî无理方程ì整式方程íî分式方程 3、无理方程的解法 知道了无理方程的概念，接下来我们一 起来探究如何解无理方程． 怎样解方程x=3x+4？ ① 问1：这个方程是今天刚刚学习的无理方程，答1：通过去分母，将分式方程我们还不会求解．回忆一下之前我们是如何解分式方程的，是将分式方程转化为什么方程？如何转化？ 问2：是不是可以将无理方程转化已学习过的方程来求解呢，转化为什么方程？ 问3：如何转化？ 根据等式性质，若p=q，则p=q以2及(a)=a(a³0)的性质．通过方程两边转化为整式方程． 答2：有理方程． 答3：去根号． 2 22同时平方，将方程转化为有理方程． 解：两边同时平方，得 x=3x+4． ② 2即 x2-3x-4=0． 解得 x1=4，x2=-1． 问4：两个根都是原方程的根吗？ 问5：为什么会产生这样的情况？ 方程①中未知数的允许取值范围是什么？ 师： 无理方程在转化成有理方程的过程中，可能扩大未知数的允许取值范围，这样就可能产生增根，因此需要“验根”． 问6：如何“验根”？能像分式方程那样检验吗？ 师： 把解依次代入原方程的左右两边，加以检验．如果左边=右边，解是原方程的解；否则，解是原方程的增根，要舍去． 检验：把x=4分别代入原方程两边，左边=4，右边= 3´4+4=16=4，左边=右答4：x2=-1不是原方程的根． 路以后，再具体解决问题． 解无理答5：方程①与方程②中未知数方程过程中允许的取值范围不同． 可能产生增围是x³0；方程②中未知数的允许取值范围是一切实数． 答6：代入原方程检验． 针对性地进行适当解说，使学生对“验根”的必要性有明确的认识，从而在解方程时认真实施“检验”的步骤． 在学生对于解无理方程有了具体感受和实践经验后，师生一起归纳解无理方程的一般步骤，然后用流程方程②中未知数的允许取值范围又是什么？ 方程①中未知数的允许取值范根的问题，有边，可知x=4是原方程的根． 把x=-1分别代入原方程两边，左边=-1，右边不可能是负数，可知x=-1是增根，应舍去． ∴ 原方程的根是x=4． 1、解简单的无理方程的方法： 去根号 无理方程 有理方程 2、解简单的无理方程的一般步骤，用流程图 可表述为： 3 三、巩固练习 1、课后练习3 2、解方程： 3、将方程 师：强调解形如这样的无理方程的关键是使二次根式单独在等式一边． 4 图进行表述． 学生独立完成，两位学生板书，师生共同纠正 解： 两边平方，得x+2=x2， 整理，得x2-x-2=0， 解这个方程，得x1=-1，x2=2， x+2=-x． 检验：把x=-1分别代入原方程两边，左边=1，右边=1，由左边=右边，可知x=-1是原方程的根． 把x=2分别代入原方程两边，左边=2，右边=-2，由左边≠右边，可知x=2是增根，应舍去． ∴ 原方程的根是x=-1． x-1-2x=0化成有理方程． 2 预设： 呈现一学生可能会两边直接平方，造成次平方的其平方后依然含有根式． 解：移项，得x-1=2x． 222他题型，移项后再平方，从而巩固解无理方程的基两边同时平方，得x-1=4x． 本思想方法． 四、课堂小结 本节课主要学习了什么，有何收获？ 五、布置作业 练习册21.4 1、无理方程的概念． 2、代数方程的分类． 3、无理方程的解法： 梳理知识点，培养学生归纳的能力． 5 。