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一、复平面上曲线方程的各种表示复平面上曲线方程有两种表示方式 •直角坐标方程•参数方程1设复平面上曲线 C 的参数方程为那么，复平面上曲线 C上的动点z(t)可表示 为 依赖于参数t. 曲线参数方程的复数形式基本技能：由参数方程分析曲线的几何形状；由曲线写出参 数方程2例1 指出方程表示什么曲线解：因为 等价于X=t,y=t+α,消去t得 y=x+α(x>0)3例2z=t+i/t表示双曲线y=1/x例3 写出连接0到1+i的直线段的参数方程4例 圆周的参数方程 x=x0+Rcost, y=y0+Rsint(0≤t≤2π)令z0=x0+iy0, 则其等价的复数形式为 z=z0+R(cost+isint) 或 z=z0+Reit 其中 t∈ [0, 2π]5二、简单曲线与光滑曲线 （1） 连续曲线设曲线C为z = z(t) = x(t)+iy(t) (a≤t≤b)，若x(t)和y(t)在[a,b]上连续，即z(t)在[a,b]上连续，则称曲线C为连续曲线（或弧）。

6（2） 光滑曲线设曲线C为z = z(t) =x(t)+iy(t) (a≤t≤b)，如果在a≤t≤b上， x'(t) 和y'(t)都是连续的，且对于t的每一个值，有[x'(t)]2+[y'(t)]2≠0，即切向量z'(t)=x'(t)+iy'(t)在[a,b]上连续且z'(t) ≠0 ，则称曲线C为光滑曲线7逐段光滑曲线由有限条光滑曲线依次首尾连接所组成的 一条曲线称为逐段光滑曲线8（3）Jordan曲线除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为 简单曲线或Jordan(若当)曲线起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线除起点与终点外无重点的连续闭曲线C 称为简单闭曲线或简单闭路9Jordan曲线的性质任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.内部外部边界10课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?答案简 单闭简 单不 闭不 简 单闭不 简 单不 闭11三、平面上曲线 C 直角坐标方程的复数形式12例4 试用复数表示圆的方程其中 A,B,C,D是实常数（ ）13特别地，如果A=0,B及C不全为0，这是直线方程即为复平面上直线方程的一般形式还可用复数的实部、虚部、模和幅角的方程来表 示曲线。

14(1) 用复数的实部或虚部的等式表示曲线 Re(z-z0)=a是XOY平面上的直线 x=a+Re(z0) Im(z-z0)=b是XOY平面上的直线y=b+Im(z0)4Im(z-i2)=2例5 方程表示什么曲线，并作图15(2)用复数模的等式表示曲线 |z-z0|表示动点z到定点z0的距离|z-z1|＝ |z-z2||z-z1|＋ |z-z2|＝2a(|z1-z2|2|a|)表示以z1和z2为焦点，以a为实半轴的双曲线，其中正号代表离焦点z2近的分支，负号代表另一分支16|z+2|+|z-2|=632-217(3)用含复数辐角的等式表示曲线i从点z0出发，与实轴夹角θ0的射线为18例6 指出方程表示什么曲线从点z0出发，与实轴夹角θ0的射线解：因为 等价于X=t,y=t+α,消去t得 y=x+α(x>0)19。