2022年微分、差分方程习题归类.pdf

微分方程和差分方程作业题参考答案一、微分方程初值问题1)0(,cosyxeyyx（1）用四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解(步长 h 取 0.1)，求解范围为区间 0,3（2）用 ode45 方法常微分方程初值问题的数值解(近似解 )，然后利用画图来比较两者间的差异解（1）代码clearf=sym(y-exp(x)*cos(x);a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1; szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:n l1=subs(f,x, y,x,y); l2=subs(f,x, y,x+h/2,y+l1*h/2); l3=subs(f,x, y,x+h/2,y+l2*h/2); l4=subs(f,x, y,x+h,y+l3*h); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2), dg-);00.511.522.533.5024681012141618（2）代码名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - fun=inline(y-exp(x)*cos(x), x, y);x,y=ode45(fun,0,3,1) 00.511.522.53024681012141618两个图放在一起比较如下：00.511.522.533.5024681012141618结论：通过对这个微分方程的两种不同方法的求解，从图形中可以看出， 两种方法所得到的数值解大致重合， 因此可以得出对于这个微分方程，用这两种方法的效果大致一样。

二、设初始时容器里盛放着含净盐10 千克的盐水 100 升，现对其以每分钟3 升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1 小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？解：分析和建模设 t 时刻（单位为分钟）容器中每升盐水中所含净盐的百分比为x(t),考虑时间区间,ttt，并利用质量守恒定律；,ttt内容器中净盐量的变化等于注入清名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 水所含的净盐量减去放出盐水中的净盐量用数学公式表示出来就是：0)0()()()()()(xxdssKxtxtVttxttVTtt于是，令0t，得: 0)0(0,1xxtxtVKdtdx得到解为：)()()1(tVctxK这就是 t 时刻容器中净盐的百分比因为V=100 升，K=2 升/分钟，当 t=0 时，0)0(xx=0.1，因此 c=100000 得到：)100(3*510)(ttx一小时 (t=60)后容器中的盐水中含有的净盐为：(100+60)*x(60)=105*(100+60)(-2)= 3.90625千克所以 1 小时后容器里的盐水中还含有3.90625千克净盐。

三. 早期肿瘤的体积增长满足Malthus 模型（dVVdt，其中 为常数） ， （1）求肿瘤的增倍时间 根据统计资料，一般有 (7,465) （单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70 天而小于 465 天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤） ，故是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式302tDD. (3) 正常人身上也有癌细胞， 一个癌细胞直径约为 10m ， 重约 0.001g. ，当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大 1000 倍） ，由此容易算出癌细胞转入活动期已有30天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一 手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法 射线强度太小无法杀死癌细胞， 太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降一次照射不可能杀死全部癌细胞， 请设计一个可行的治疗方案 （医生认为当体内癌细胞数小于 105个时即可凭借体内免疫系统杀灭解： （1）dVVdtV= te*c(其中 c 为常数 ) 当 t=0 时 V=V0V= te*V0当 V=2 V0时 =ln2/名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - （2）V=1/6*D3 dVVdt33)(DdtDd322DdtdDD3DdtdD =ln2/3*2lnDdtdD因为当 t=0 时 D=D0 302tDD（3）假设，不考虑每次放射性射线杀死的免疫细胞从而影响人体免疫系统功能的前提下，有一位癌症病人的癌细胞的直径为1cm ，此癌症病人的体内含有的癌细胞的含量为 106个，现在医院要对病人进行治疗，打算用17/2 天使癌症病人的体内的癌细胞数目从原来的106个减少到体内免疫细胞可杀死的水平，每两次放射性治疗的时间间隔为1/2 。

决定用 9 次级放射性治疗来使病人的癌细胞得到控制，为达到此目的每次治疗要用射线治疗的射线强度为杀死癌细胞的x 所需的射线量根据假设条件，编写matlab 程序clear; clc; for x=1:900000 k=1000000-x; for i=1:9 k=sqrt(2)*k-x; end if k=100000 break end end x x = 301006 得出结论，病人每隔1/2 天进行一次放射性治疗，每一次进行放射性治疗所用的射线量时杀死 301006个癌细胞的射线量四 已知一种昆虫每两周产卵一次， 六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律） 孵化后的幼虫 2 周后成熟，平均产卵 100 个，四周龄的成虫平均产卵150 个假名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 设每个卵发育成 2 周龄成虫的概率为0.09， （称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2 1）假设开始时， 02，24，46 周龄的昆虫数目相同，计算2 周、4 周、6周后各种周龄的昆虫数目；（2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？（3）假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？由题目的意思，分别设2 周龄虫， 4 周龄虫， 6 周龄虫的数目为一个单位所以 2 周龄虫， 4周龄虫， 6 周龄虫的初值分别为1，1，1 设两周为一个观察单位， 设)3, 2, 1(nxkn表示第 k 个时间单位 2n 龄幼虫的数目建立函数模型：kkkkkkkxxxxxxx213112321102.009.0150100（1）计算计算 2 周、4 周、6 周后各种周龄的昆虫数目的matlab 程序clear; clc; x0=1;1;1; L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0; x1=L*x0; x2=L*x1; x3=L*x2; x1;x2;x3 得出一个单位下个虫分布虫周龄2 周龄虫4 周龄虫6 周龄虫两周后250 0.09 0.2 四周后39 22.5 0.02 六周后2252.7 3.51 4.5 （2）各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值为简化计算，令 z 在比例中的值为 1 用 matlab 编程求出个周龄在90100 这个时间段的值以 z 的值为一个单位，求x，y 的和 z 的比、用 matlab编程拟合此虫的数目比clear; clc; x0=1;1;1; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0; X=x0; x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3); for k=2:1001 X=L*X; x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3); end for i=100:200 x(i)/z(i),y(i)/z(i) end 得出的结果大都分布在m =547.7538 15.6954 所以三种虫的比值为547.75：15.7：1 为恒定的值用 matlab编程拟合此虫的数目演变趋势clear; clc; x0=1;1;1; L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0; X=x0; x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3); for k=2:11 X=L*X; x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3); end t=0:10; figure plot(t,x,r-) figure plot(t,y,b-) figure plot(t,z,g:) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 由此程序的到虫演变发展趋势的折线图产生的结果如以下三幅图二周龄虫的演变发展趋势见下图四周龄虫的演变发展趋势见下图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 六周龄虫的演变发展趋势见下图由以上三幅图，可以观察得出昆虫无限增长。

3）如果使用了杀虫剂，那么各周龄的昆虫成活率减为原来的一半设两周为一个观察单位， 设)3, 2, 1(nxkn表示第 k 个时间单位 2n 龄幼虫的数目建立函数模型变为：kkkkkkkxxxxxxx213112321101.0045.0150100名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 根据题意编写 matlab 程序得出三幅昆虫演变趋势图clear; clc; x0=1;1;1; L=0 100 150;0.0045 0 0;0 0.1 0; X=x0; x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3); for k=2:11 X=L*X; x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3); end t=0:10; figure plot(t,x,r-) figure plot(t,y,b-) figure plot(t,z,g:) 得到下面三幅图片二周龄虫的演变发展趋势见下图四周龄虫的演变发展趋势见下图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 六周龄虫的演变发展趋势见下图五购房贷款问题李四夫妇计划贷款 30 万元购买一套房子，他们打算用 20年的时间还清贷款。

目前，银行的贷款利率是0.6%月他们采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款1. 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多。