勾股定理-讲义汇编.doc

学习 -----好资料勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（ 1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是 a， b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2．（ 2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（ 3）勾股定理公式 a2+b2=c2 的变形有： a2=c2﹣ b2，b2= c 2﹣ a2 及 c2=a2+b2．（ 4）由于 a2+b2=c2＞ a2，所以 c＞ a，同理 c＞ b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（ 1）有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形．（ 2）直角三角形是一种特殊的三角形， 它除了具有一般三角形的性质外， 具有一些特殊的性质：性质 1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） ．性质 2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质 3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． （即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质 4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质 5： 在直角三角形中， 如果有一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°．3． 勾股定理的应用（ 1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（ 2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（ 3）常见的类型：① 勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．② 由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③ 勾股定理在实际问题中的应用： 运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．更多精品文档学习 -----好资料④勾股定理在数轴上表示无理数的应用： 利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开 - 最短路径问题（ 1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（ 2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题 +基础练习1. 勾股定理 ．【例1】已知△ ABC中， AB=17， AC=10， BC边上的高AD=8，则边 BC的长为（）A． 21B． 15C． 6D．以上答案都不对．练 1.在△ ABC中， AB=15， AC=13， BC上的高 AD长为 12，则△ ABC的面积为（）A． 84B． 24C．24 或 84D．42 或 84练 2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥ BC， AC⊥ CD，AD⊥ DE，则 AE=（）A．1 B ． C ． D ．22. 等腰直角三角形 ．【例 2】已知△ ABC是腰长为 1 的等腰直角三角形， 以 Rt△ ABC的斜边 AC为直角边， 画第二个等腰 Rt △ACD，再以 Rt △ ACD的斜边 AD为直角边，画第三个等腰 Rt △ ADE， ，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的面积是（ ）A． 2n﹣ 2 B ． 2n ﹣1 C ． 2n D ． 2n+1更多精品文档学习 -----好资料练 3. 将一等腰直角三角形纸片对折后再对折， 得到如图所示的图形， 然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是 （ ）A． B ． C ． D．3. 等边三角形的性质；勾股定理 ．【例 3】以边长为 2 厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形， 以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（ ）A．2×（ ） 10 厘米 B ．2×（ ） 9 厘米C．2×（ ） 10 厘米 D ．2×（ ）9 厘米练 4. 等边三角形 ABC的边长是 4，以 AB边所在的直线为 x 轴， AB 边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点 C 的坐标为 ．4．勾股定理的应用．【例 4】工人师傅从一根长 90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为 60cm、 100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（ ）A． 80cm B ． C ． 80cm或 D ．60cm练 5. 现有两根铁棒，它们的长分别为2 米和 3 米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A． 米 B． 米C． 米或 米 D ． 米5．平面展开 - 最短路径问题 ．【例 5】如图 A，一圆柱体的底面周长为 24cm，高 BD为 4cm， BC是直径，一只蚂蚁从点 D出发沿着圆柱的表面爬行到点 C的最短路程大约是（ ）A． 6cm B ． 12cm C ． 13cm D ．16cm练 6． 如图是一个长 4m，宽 3m，高 2m的有盖仓库，在其内壁的 A 处（长的四等分）有一只壁虎， B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ） m．更多精品文档学习 -----好资料A．4.8 B ． C ．5 D ．三、课堂练习1．已知两边的长分别为 8， 15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（ ）A．不能确定 B ． C ．17 D ．17或2．在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、 b、 c，若∠ A：∠ B：∠ C=1： 2： 3．则 a：b： c=（ ）A．1： ：2 B． ：1：2 C ．1：1：2 D ． 1：2：33．直角三角形的两边长分别为 3 厘米， 4 厘米，则这个直角三角形的周长为（ ）A．12厘米 B ．15 厘米 C ．12 或 15 厘米 D ．12或（7+ ）厘米4．有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面 4 米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的．5．如图， 一棵大树在一次强台风中于离地面 3m处折断倒下， 树干顶部在根部 4 米处， 这棵大树在折断前的高度为 m．6．在一个长为 2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽 AD平行且大于 AD，木块的正视图是边长为 0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达 C 处需要走的最短路程是 米．（精确到 0.01 米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为 3， 4， x，则满足此三角形的 x 值为（ ）A．5 B ． C ．5或 D ．没有更多精品文档学习 -----好资料2．已知直角三角形有两条边的长分别是 3cm， 4cm，那么第三条边的长是（ ）A． 5cm B ． cm C ． 5cm 或 cm D ． cm3．已知 Rt△ ABC中的三边长为 a、 b、c，若 a=8， b=15，那么 c2 等于（ ）A．161 B ．289 C ．225 D ．161 或 2894．一个等腰三角形的腰长为 5，底边上的高为 4，这个等腰三角形的周长是（ ）A．12 B ．13 C ．16 D ．185．长方体的长、 宽、高分别为 8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A爬到点 B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm．6．如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成 3×3个小正方形． 其边长都为 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由 A 出发，在盒子的表面上爬到点 C1，已知 AB=5cm，BC=3cm， CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是 cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5×6×10（单位： cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13cm，小孔到图中边 AB距离为 1cm，到上盖中与 AB相更多精品文档学习 -----好资料邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为 hcm，则 h 的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据： ≈1.4 ， ≈1.7 ， ≈2.2 ）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位： mm），计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 mm．更多精品文档学习 -----好资料勾股定理 的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理 的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（ 2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。