[数学]空间向量完整讲义及课后作业及答案.doc

空间向量与立体几何一、空间向量及其加减运算知识梳理知识点一　空间向量的概念【例 1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．① 向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一条直线上；ABC② ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 = ；⑤模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终D点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量 ， 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为 1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为 A、B、C、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示， 与 共线，虽起点不同，但终点却相同.ACB【反思感悟】　解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量) 、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．【跟踪训练】下列说法中正确的是(　　)A．若|a |＝|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则 |a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D.在四边形 ABCD 中，一定有 + = ABDC答案　B解析|a|=|b| ，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定；对于 a 的相反向量 b=-a 故|a|=|b|，从而 B 正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有 + =  ，只有平ADC行四边形才能成立.故 A、C、D 均不正确.知识点二　空间向量的加、减运算【例 2】如图所示，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点，化简下列向量表达式．（1） + ； （2） + ；1AB1BA21D（3） + + ；1（4） + + + + ;C1解 （1） = .1ABur （2） 112ABDur1()ABur12ACMur（3） 1（4） 0Crr【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为 0..【跟踪训练】已知长方体 ABCD—A′B ′C′D′,化简下列向量表达式:(1) ';ABur(2) ''Cur解 (1) = = A'r'''urur(2) ''''DAr知识点三　向量加减法则的应用【例 3】在如图所示的平行六面体中，求证： ''2'CBDCurru证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴ ＝ ＋ .,ACBurr'',ABurAD′→ AD→ AA′→ ∴ =''D()()(')rr('),BArur又由于 ＝ ， ＝ ，CC′→ AD→ BC→ ∴ ＋ ＋ = ＋ ＋ = ＋ ＝ ，rAD→ AA′→ rBC→ CC′→ urCC′→ AC′→ ∴ ＋ ＋ ＝2 .uAB′→ AD′→ AC′→ 【反思感悟】 在本例的证明过程中 ,我们应用了平行六面体的对角线向量  = ,AC′→ 'BDAurr该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广( 即平行六面体法则).【跟踪训练】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，画出表示下列向量的有向线段.（1） ＋ ＋ ; ；ABurAD→ 1r（2） ;.C解 如图，（1） ＋ ＋ = ;ABurAD→ 1r1CAur(2)  =111BBAurur图中 ，  为所求.C课堂小结：1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法． 3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a－b 表示的是由减数 b 的终点指向被减数 a 的终点的一条有向线段．课后作业一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量 的长度与向量 的长度与向量 的长度相等；ABurBA→ BA→ ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量 与向量 是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上；rCD→ ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 C解析 ①真命题；②假命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行； ⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．2. 已知向量 ， ， ， ， 满足 | | ＝ | |＋| |，则( )ABurAC→ AC→ BC→ AB→ AC→ BC→ A． ＝ ＋ B． ＝－ －AC→ BC→ urAC→ BC→ C． 与 同向 D． 与 与 同向AC→ BC→ AC→ CB→ CB→ 答案　D解析 由 | | = | | + | | = | | + | |,知 C 点段 AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边urAC→ BC→ AC→ CB→ 矛盾，所以 与 与 同向AC→ CB→ CB→ 3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量表达式  化简后的结果是（ ） 1ABurrA .  B .1r 1 C . D . u答案 A解析 如图所示，因 ＝ ， － ＝ － ＝ ，1DurAA1→ DD1→ AB→ AA1→ AB→ 1＋ ＝ ，BBC→ BD1→ ∴ － ＋ ＝ .1rAB→ BC→ BD1→ 4．空间四边形 ABCD 中，若 E、F、G 、H 分别为 AB、BC 、CD、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( ) A . ＋ ＋ ＋ ＝0  B . ＋ ＋ ＋ ＝0EBurBF→ EH→ GH→ EurFC→ EH→ GE→ C . ＋ ＋ ＋ ＝0 D . － ＋ ＋ ＝0FG→ EH→ GH→ FB→ CG→ GH→ 答案 B解析 如图所示， ＋ ＋ ＋EBurFC→ EH→ GE→ ＝( ＋ )＋( ＋ )BF→ GE→ EH→ = ＋ ＝0.rFE→ 5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，如 图所示，下列各式中运算的结果为向量 的是（ ）　 1BDur① ( － )－ ；1ADurA1A→ AB→ ② ( ＋ )－ ；CBB1→ D1C1→ ③（ － )－2 ；rAB→ DD1→ ④（ － )＋ .1uA1A→ DD1→ A．①② B．②③ C．③④ D．①④答案 A( － )－ ＝ － ＝ . 1rA1A→ AB→ AD1→ AB→ BD1→ ( ＋ )－ ＝ ＋ ＝ .∴①、②正确．CuBB1→ D1C1→ BC1→ C1D1→ BD1→ 二、填空题6. 如图所示 a，b 是两个空间向量，则 与 与 是________向量， 与 是AurA′ C′→ A′ C′→ AB→ B′ A′→ ________向量．答案　相等　相反7. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,化简向量表达式  +  + 的结果为AB→ CDurAur________． 答案　0解析＋ ＋ ＋ ＝( ＋ )＋( ＋ )AB→ CD→ BC→ DA→ AB→ BC→ CD→ DA→ = ＋ ＝0.urCA→ 三、解答题8．如图所示，已知空间四边形 ABCD，连结 AC，BD ，E，F，G 分别是 BC，CD，DB 的中点，请化简 （1） ＋ ＋ ， （2） ＋ ＋ ，并标出化简结果的向量．AB→ BC→ CD→ AB→ GD→ EC→ 解 （1） ＋ ＋ = ＋ ＝ .AB→ BC→ CD→ urCD→ AD→ (2)∵E，F，G 分别为 BC，CD，DB 中点．∴ ＝ ， ＝ . BurEC→ EF→ GD→ ∴ ＋ ＋ = ＋ ＋ = AB→ GD→ EC→ AB→ BE→ EF→ ur9. 已知 ABCD 是空间四边形,M 和 N 分别是对角线 AC 和 BD 的中点.求证: = MNr1()2r证明 =uABu又　 =　 ,rCDrr∴2 = ()()Bur由于 M,N 分别是 AC 和 BD 的中点,　所以． = 0.r∴ ＝ ( ＋ )．MNu12AB→ CD→ 10．设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证： ＋ )． 1(3BurAC→ AD→ 证明　连结 BG，延长后交 CD 于 E，由 G 为△BCD 的重心，知 2GEr∵E 为 CD 的中点， ∴ ＝ ＋ .BEur12BC→ 12BD→ ∴ ＝ ＋ = ＋AGAB→ BG→ AB→ 23BE→ = ＋ ( ＋ )AB→ 13 rBD→ = + AB→ ()Cuur= ( ＋ ＋ )．13AC→ AC→ AD→ 二、空间向量的数乘运算知识梳理知识点一 空间向量的运算【例 1】已知 ABCD—A′B ′C′D′是平行六面体.(1)化简 2'23urur(2)设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BCC′B′对角线 BC′上的 分点,设34,试求 α,β,γ 的值.'NABrr解 (1)方法一 取 AA′的中点为 E,则 1''2AEur又  取 F 为 D′C ′的一个三等分点(D′F= D′C′),则 D′F =',BCD',Bur 2323r∴ + + =  + + = 12'r23A'Er'Aur'FrEu方法二 取 AB 的三等分点 P 使得 ,23B取 CC′的中点 Q,则 + + =12'urCr12'3CABrCQBurr,BQ(2) '4MNDr= 13()(')2Aru= = 'BAr13'24BDAurur ∴α＝ ，β＝ ， γ＝ .12 14 34【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．【跟踪训练】如图所示,平行六面体 A1B1C1D1- ABCD，M 分 成的比为 ，N 分 成的比为 ，N 分 成的比为 2，设 ＝ a， ＝b， ＝c，试ACur12 A1D→ 12 A1D→ ABurAD→ AA1→ 用 a、b、c 表示 ，解 1123NANCADurrurur= 2()3C＝－ (a＋b) ＋c ＋ (－c ＋b)13 23＝－ a＋ b＋ c13 13 13知识点二 共线问题【例 2】设空间四点 O。