沈阳化工大学常微分方程教案1_1微分方程解.pdf

沈 阳 化 工 学 院 第一章初等积分法 §1.1 微分方程和解 一、微分方程定义 1、代数方程（超越方程）：方程的未知量是数 2、函数方程：方程的未知量是函数 3、积分方程：函数方程中含有对未知函数的积分运算或在积分号下有 未知函数 4、微分方程：函数方程中含有对未知函数的微分求导运算 例 物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t = 0 时，在距离地面高度为 H 处以初速 度 v(0) = v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系 解 设 x = x(t) 为 t 时刻的下落坐标，于是下落速度为 v = dx dt 加速度为 a = d2x dt2 空气阻力取为与速度成正比，由牛顿定律 F = ma 得方程 m¨ x = k ˙ x − mg 其中 k 0 为阻尼系数，当 k = 0 时，有 d2x dt2 = −g 积分两次，得 x(t) = −1 2gt 2 + C1t + C2 其中 C1,C2是两个独立的任意常数 通讯作者：席伟1email:teacherxi@ 沈 阳 化 工 学 院 例：牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度 之差成正比，已知空气温度为30◦C，求物体温度与时间的函数关系。

解：设物体温度为T = T(t)，由已知有， dT dt = −k(T − 30) 其中k 0为比例系数，解得 T = 30 + Ce−kt 其中C为任意常数 定义1 （微分方程） 微分方程是联系自变量、未知函数及未知函数导 数的等式，其中未知函数为一元函数，则称为常微分方程，未知函数为多 元函数，称为偏微分方程 dy dx = 2x dy dx = √1 − y2 √1 − x2¨ x + x = 0yy′′+ y′2= 0 1、微分方程的阶：未知函数的最高阶数 2、隐式方程： F(x,y,y′,··· ,y(n)) = 0 3、显示方程： y(n)= f(x,y,y′,··· ,y(n−1)) 4、微分形式： M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 5、线性方程：关于未知函数和未知函数的导数是一次的方程，一般形 式： y(n)+ p1(x)y(n−1)+ ··· + pn−1(x)y′+ pn(x)y = f(x) 二、微分方程的解 定义2 （微分方程解） 设函数 y = φ(x) 在区间 I 上有 n 阶导数，如 果把 y = φ(x) 代入方程，等到恒等式 F(x,φ(x),φ′(x),··· ,φ(n)(x) ≡ 0 则称 y = φ(x) 为方程在区间 I 上的一个解，对应曲线称为积分曲线。

通讯作者：席伟2email:teacherxi@ 沈 阳 化 工 学 院 1、dy dx = 2xy = x2+ Cx ∈ (−∞,+∞) 2、¨ x + x = 0x = C1sin(t) + C2cos(t)x ∈ (−∞,+∞)其 中 C1,C2为独立的任意常数 定义3（通解） n 阶方程解中含有 n 个独立的任意常数 C1,C2,··· ,Cn的 解 y = φ(x,C1,C2,··· ,Cn) 称为方程的通解 三、初值问题（柯西问题） 一般形式： { y(n)= f(x,y,y′,··· ,y(n−1)) y(x0) = y0,y′(x0) = y′ 0,··· ,y(n−1)(x0) = y (n−1) 0 例：物体下落问题 { d2x dt2 = −g x(0) = H, ˙ x(0) = v0 例：牛顿冷却问题 { dT dt = −k(T − 30) T(0) = 100 例：求方程 ¨ x + x = 0 满足初值条件 x(π 4) = 1, ˙ x( π 4) = −1 的解 解：方程通解为 x = C1sint + C2cost 代入初值，得 {√ 2 2 C1+ √2 2 C2= 1 √2 2 C1− √2 2 C2= −1 解出 C1,C2，得 C1= 0,C2= √2 所以，原方程通解为 x = √2cost 通讯作者：席伟3email:teacherxi@ 沈 阳 化 工 学 院 四、积分曲线 微分方程解 y = φ(x) 的图像称为积分曲线，通解 y = φ(x,C) 的图 像称为积分曲线族。

例： y = x2为方程 y′= 2x 过 (0,0) 的一条积分曲线 五、初等积分法 方程的求解化为求积分，方程的解能用初等函数或他们的积分表示， 这样的方程称为可积方程. 六、课堂练习 1、指出方程阶数 d2y dx2 = x + d3 dx3 arcsinx (dx dy )2 = 4 2、验证微分方程解 dy dx = p(x)y,y = Ce ∫ p(x)dx (x + y)dx + xdy = 0,y = C2− x2 2x 七、作业 P8,1 − −(1,3,5),2 − −(1,4) 通讯作者：席伟4email:teacherxi@ 。