2.1.1 数 列(二)自主学习 知识梳理1．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．2．一般地，一个数列{an}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项________，那么这个数列叫做常数列．3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项an，n的值可通过不等式组________________来确定；若求最小项an，n的值可通过解不等式组________________来确定． 自主探究已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？对点讲练知识点一 利用函数的性质判断数列的单调性例1 已知数列{an}的通项公式为an＝.求证：数列{an}为递增数列．总结 数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．变式训练1 在数列{an}中，an＝n3－an，若数列{an}为递增数列，试确定实数a的取值范围．知识点二 求数列的最大项例2 已知an＝ (n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结 先考虑{an}的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．知识点三 由递推公式求通项公式例3 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝··…··a1等方法．变式训练3 已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1>an对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋10的n的最小值为( )A．10 B．11 C．12 D．135．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 010的值为( )A. B. C. D.二、填空题6．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an>100的n的最小值是________．7．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是________．8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋n，则a2 009＝________.三、解答题9．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是递减数列．10．在数列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，n∈N*)．(1)求证：an＋3＝an； (2)求a2 010.2．1.1 数 列(二)知识梳理1．正整数集N* 函数值2．第二项 an＋1>an 第二项 an＋10，即an＋1>an.∴数列{an}为递增数列．变式训练1 解 若{an}为递增数列，则an＋1－an≥0.即(n＋1)3－a(n＋1)－n3＋an≥0恒成立．即a≤(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1恒成立，即a≤(3n2＋3n＋1)min，∵n∈N*，∴3n2＋3n＋1的最小值为7. ∴a的取值范围为a≤7.例2 解 因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)＝n＋1·＝n＋1·，则当n≤7时，n＋1·>0，当n＝8时，n＋1·＝0，当n≥9时，n＋1·<0，所以a1a10>a11>a12>…，故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.变式训练2 解 (1)an＝n2－5n＋4＝2－，当n＝2,3时，an<0.∴数列中有两项是负数．(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为－2.例3 解 由递推公式得a1＝1，a2＝1＋＝，a3＝＋＝，a4＝＋＝，a5＝＋＝.故数列的前五项分别为1，，，，.∴通项公式为an＝＝2－.变式训练3 解 ∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.∴＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋ ＝n＋1.∴＝n＋1，∴an＝.课时作业1．A2．B3．C [a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，猜想an＝，∴a34＝＝.]4．B [∵－a1＝a10，－a2＝a9，－a3＝a8，－a4＝a7，－a5＝a6，∴S11>0，则当n≥11时，Sn>0，故n最小为11.]5．C [计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a2 010＝a3＝.]6．127．10或11解析 令an＝－n2＋10n＋11≥0，则n≤11.∴a1>0，a2>0，…，a10>0，a11＝0.∴S10＝S11且为Sn的最大值．8．2 017 036解析 由a1＝0，an＋1＝an＋n得an＝an－1＋n－1，an－1＝an－2＋n－2，⋮a2＝a1＋1，a1＝0，累加可得an＝0＋1＋2＋…＋n－1＝，∴a2 009＝＝2 017 036.9．(1)解 因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，所以2log2 an－2－log2an＝－2n，an－＝－2n，所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.因为an>0，所以an＝－n.(2)证明 ＝＝<1.又因为an>0，所以an＋1
