2019年高考真题数学(江苏卷含答案).doc

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 •本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)本卷满分为160分，考试时 间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3•请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4•作答试题，必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5•如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：样本数据X1,X2，…,Xn的方差S2 1 x X 2，其中X - Xi •n i 1 n i 1柱体的体积VSh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的咼.锥体的体积V1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的咼.3一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.1 •已知集合 A { 1,0,1,6} , B {x|x 0,x R}，则 AI B ▲ .2•已知复数(a 2i)(1 i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数 a的值是 ▲ .3•下图是一个算法流程图，则输出的 S的值是 ▲t4•函数y 7 6x x2的定义域是 ▲.5.已知一组数据 6, 7, 8, 8, 9, 10,则该组数据的方差是 ▲ .6•从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的 2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲.27.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线x2 每 1(b 0)经过点(3, 4)，则该双曲线的 b渐近线方程是 ▲.&已知数列{an}( n N*)是等差数列，Sn是其前n项和若a?a5 a* 0,S9 27 ,则S*的 值是 ▲ .9•如图，长方体 ABCDAiBiCiDi的体积是120, E为CCi的中点，则三棱锥 E-BCD的体积是 ▲10.在平面直角坐标系P到直线x+y=0的距离的最小值是 ▲.11. 在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是厶12. 如图，在 AABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA, AD与CE交于点O.UJU UULT 若 AB ACuuu6AOUJU ABEC，则竺的值是 ▲13.已知tantan-，则sin 2 -的值是 ▲3 4AC —14.设f(x), g(x)是定义在R上的两个周期函数，f (x)的周期为4, g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当 x (0,2］时，f (x) . 1 (x 1) , g(x)k(x 2),0 x 11 ,-,1 x 22其中k>0•若在区间(0, 9］上，关于x的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k的 取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c.― 2(1) 若 a=3c, b= •• 2 , cosB=，求 c 的值；3…sin A cosB(2) 若 ，求sin(B -)的值.a 2b 216. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC — A1B1C1中，D , E分别为BC, AC的中点，AB=BC.求证：(1) A1B1// 平面 DEC1；(2) BE 丄 C1E.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2x~~2a2右1(a b 0)的焦点为F(- 4、°),2 2 2F2 (1, 0).过F2作x轴的垂线I，在x轴的上方，I与圆F2：(x 1) y 4a交于点A，与椭圆C交于点D•连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E, 连结DF1.已知DF 1= 5 .2(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 求点E的坐标.18. (本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为 O的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥AB( AB是圆O的直径).规划在公路I上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路 PB、QA.规 划要求：线段PB、QA上的所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径.已知点 A、B到直线l的距离分别为 AC和BD (C、D为垂足)，测得 AB=10, AC=6, BD=12 (单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2) 在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；(3) 对规划要求下，若道路 PB和QA的长度均为d (单位：百米)•求当d最小时，P、Q两点间的距离.19. (本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f'(x)为 f (x)的导函数.(1) 若 a=b=c, f (4) =8，求 a 的值；(2) 若a丰b, b=c,且f (x)和f'(x)的零点均在集合｛ 3,1,3｝中，求f (x)的极小值；4(3) 若a 0,0 b, 1,c 1，且f (x)的极大值为M，求证：M < .2720. (本小满分 16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ M-数列”.*(1)已知等比数列｛an｝ (n N )满足：a?a4 a5,a3 4a? 4a4 0 ,求证 澈列｛an｝ 为“ M —数列”；(2)已知数列｛bn｝满足：011,sn2bn2bn 1，其中Sn为数列｛bn｝的前n项和.① 求数列｛bn｝的通项公式；② 设m为正整数，若存在“ M —数列” ｛cn｝(n N*)，对任意正整数k,当k< m时,都有ck剟bk ck 1成立，求m的最大值.数学H (附加题)21. 【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10 分)已知矩阵A(1 )求 A2；(2)求矩阵A的特征值.B. ［选修4-4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，已知两点 A 3,— ,B .2,，直线I的方程为 sin - 3.4 2 4(1 )求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线I的距离.C. ［选修4-5 :不等式选讲］(本小题满分10分)设x R，解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设(1 x)na0 a1x2a2xn *a.x , n-4, n N .已知2a32a2a4.(1 )求门的值；(2)设(1 x3)na b.3，其中 a,b N*，求 a2 3b2 的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集An {(0,0),(1,0),(2,0), ,(n,0)}Bn (0,1),(n,1)},Cn {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2)}, n N .令M n An U Bn U C..从集合Mn中任取两个不同的点， 用随机变量X表示它们之间的距离.(1 )当n=1时，求X的概率分布;2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I答案、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法 •每小题5分，共计70分.571.{1,6}2.2 3.5 4.[ 1,7]5.-6.—7.y -2x3108.169.10 10.4 11.(e, 1) 12. 313.-114.-辽J1034二、解答题15•本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力•满分14分.解：（1）因为a 3c, b3由余弦定理cos B2 2 , 2a c bac(3c)2 c2 (迈)23c c，即c2所以c因为 sinB 0，所以 cosB 2sinB0，从而cos B因此sin B ncosBsin Acos B（2）因为a2b由正弦定理 ab得 cosBsin B，所以cosB2s inBsin Asin B2bb从而 cos2 B (2sinB)2,2即 cos B24 1 cos B，故 cos2B单516•本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力•满分14分.证明：（1）因为D , E分别为BC, AC的中点, 所以 ED // AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB // A1B1,所以 A1B1 // ED.又因为ED?平面DECi, A1B1 平面DECi, 所以AiBi //平面DECi.(2)因为AB=BC, E为AC的中点，所以 BE丄AC.因为三棱柱ABC-AiBiCi是直棱柱，所以 CCi丄平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CCi丄BE.因为 CiC?平面 AiACCi, AC?平面 AiACCi, CiC n AC=C, 所以BE丄平面AiACCi.因为CiE?平面AiACCi,所以BE丄CiE.i7.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力满分i4分.解：(i)设椭圆C的焦距为2c.因为 Fi( — i , 0), F2(i , 0)，所以FiF2=2, c=i.5又因为DFi= , AF2丄x轴，所以2DF2= DFi2 FiF225)2 22因此 2a=DFi+DF2=4,从而a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.因此，椭圆C的标准方程为(2 )解法一:x2由(i)知，椭圆C:—4i , a=2,因为AF2丄x轴，所以点A的横坐标为i.将x=i代入圆F2的方程(x-i) 2+y2=i6，解得y= ± 4.ii5因为点A在x轴上方，所以A(i, 4).又 Fi(-i , 0)，所以直线 AFi： y=2x+2.由；x2x 2i)2 y2i6，得 5x26x11 0 ,解得xii代入2x 2，得i2T，因此B（11J5。