第四章 圆与方程 知识点与习题1. ★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径 设M〔x,y为⊙A上任意一点,则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程〔1标准方程,圆心,半径为r； 点与圆的位置关系：当>,点在圆外; 当=,点在圆上当<,点在圆内; 〔2一般方程〔x+D/2>2+2=/4 〔 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点； 当时,方程不表示任何图形〔3求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r；若利用一般方程,需要求出D,E,F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置★3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：〔1设直线,圆,圆心到l的距离为,则有；；（2） 过圆外一点的切线：设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,①若求得两个不同的解,带入所设切线的方程即可； ②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线〔此 时,该直线一定为另一条切线<3> 过圆上一点的切线方程：圆2+2=r2,圆上一点为,则过此点的切线方程为+= r2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ24条外切ｄ＝ｒ1+ｒ23条相交|ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ22条内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2|1条内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和〔差,与圆心距〔d之间的大小比较来确定。
设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和〔差的绝对值,与圆心距〔d之间的大小比较来确定〔即几何法 注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线★5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程①若两圆相交,则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程；② 若两圆相切,则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；③若两圆外离,则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线, 得到的切线长相等〔反之,亦成立★6、已知一直线与圆相交,求弦的长度①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形〔勾股定理★7、已知两圆相交,求公共弦的长度①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长 ③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形〔勾股定理★8、圆系与圆系方程 <1> 圆系:具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系。
<2> 圆系方程：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ=0 〔Ⅰ①若圆 C1与圆C2交于P1、P2点,那么,方程〔Ⅰ代表过P1、P2两点的圆的方程②若圆 C1与圆C2交于P点〔一个点,则方程〔Ⅰ代表过P点的圆的方程★9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的"三部曲"：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算,解决代数问题； 第三步：将代数运算结果"翻译"成几何结论★10、空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组,、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标2、有序实数组,对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M,叫做点M的横坐标,叫做点M的纵坐标,叫做点M的竖坐标★11、空间两点间的距离公式1、空间中任意一点到点之间的距离公式一、选择题<本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的>1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0,那么这两个圆的位置关系是< >A．相离 B．相交C．外切 D．内切解析：将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0,化为标准方程得2＋2＝16.∴两圆的圆心距＝5,又r1＋r2＝5,∴两圆外切．答案：C2．过点<2,1>的直线中,被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为< >A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析：依题意知,所求直线通过圆心<1,－2>,由直线的两点式方程得＝,即3x－y－5＝0.答案：A3．若直线<1＋a>x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切,则a的值为< >A．1,－1 B．2,－2C．1 D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心C<1,0>,半径为1,依题意得＝1,即|a＋2|＝,平方整理得a＝－1.答案：D4．经过圆x2＋y2＝10上一点M<2,>的切线方程是< >A．x＋y－10＝0 B.x－2y＋10＝0C．x－y＋10＝0 D．2x＋y－10＝0解析：∵点M<2,>在圆x2＋y2＝10上,kOM＝,∴过点M的切线的斜率为k＝－,故切线方程为y－＝－,即2x＋y－10＝0.答案：D5．点M<3,－3,1>关于xOz平面的对称点是< >A．<－3,3,－1> B．<－3,－3,－1>C．<3,－3,－1> D．<3,3,1>解析：点M<3,－3,1>关于xOz平面的对称点是<3,3,1>．答案：D6．若点A是点B<1,2,3>关于x轴对称的点,点C是点D<2,－2,5>关于y轴对称的点,则|AC|＝< >A．5 B.C．10 D.解析：依题意得点A<1,－2,－3>,C<－2,－2,－5>．∴|AC|＝＝.答案：B7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点,且∠POQ＝120°<其中O为坐标原点>,则k的值为< >A.B.C.或－D.和－解析：由题意知,圆心O<0,0>到直线y＝kx＋1的距离为,∴＝,∴k＝±.答案：C8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是< >A．4 B．3C．2 D．1解析：两圆的方程配方得,O1：2＋2＝1,O2：2＋2＝16,圆心O1<－2,2>,O2<2,5>,半径r1＝1,r2＝4,∴|O1O2|＝＝5,r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2,∴两圆外切,故有3条公切线．答案：B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分,且与直线x＋2y＝0垂直,则直线l的方程是< >A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析：依题意知,直线l过圆心<1,2>,斜率k＝2,∴l的方程为y－2＝2,即2x－y＝0.答案：A10．圆x2＋y2－<4m＋2>x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上,那么圆的面积为< >A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析：∵x2＋y2－<4m＋2>x－2my＋4m2＋4m＋1＝0,∴[x－<2m＋1>]2＋2＝m2.∴圆心<2m＋1,m>,半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0,∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案：B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时,它与定点Q<3,0>的连结线段PQ的中点的轨迹方程是< >A．2＋y2＝4 B．2＋y2＝1C．<2x－3>2＋4y2＝1 D．<2x＋3>2＋4y2＝1解析：设P,Q<3,0>,设线段PQ中点M的坐标为,则x＝,y＝,∴x1＝2x－3,y1＝2y.又点P在圆x2＋y2＝1上,∴<2x－3>2＋4y2＝1.故线段PQ中点的轨迹方程为<2x－3>2＋4y2＝1.答案：C12．曲线y＝1＋与直线y＝k＋4有两个交点,则实数k的取值范围是< >A．<0,> B．<,＋∞>C．<,] D．<,]解析：如图所示,曲线y＝1＋变形为x2＋2＝4,直线y＝k＋4过定点<2,4>,当直线l与半圆相切时,有＝2,解得k＝.当直线l过点<－2,1>时,k＝.因此,k的取值范围是13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．解析：圆心<0,0>到直线3x＋4y－25＝0的距离为5,∴所求的最小值为4.答案：414．圆心为<1,1>且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．解析：r＝＝,所以圆的方程为2＋2＝2.答案：2＋2＝215．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆,①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上,且过原点；④其圆心在y轴上,且过原点,其中叙述正确的是__________．解析：已知方程配方得,2＋2＝2a2,圆心坐标为<－a,a>,它在直线x＋y＝0上,∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．答案：②16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．解析：由x2＋y2－6x－2y－15＝0,得2＋2＝25.圆心<3,1>到直线x＋2y＝0的距离d＝＝.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中,由勾股定理得,弦长＝2×＝4.答案：4三、解答题<本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤>17．<10分>自A<4,0>引圆x2＋y2＝4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程．解：解法1：连接OP,则OP⊥BC,设P,当x≠0时,kOP·kAP＝－1,即·＝－1,即x2＋y2－4x＝0①当x＝0时,P点坐标为<0,0>是方程①的解,∴BC中点P的轨迹方。
