北京市钱学森中学北校区2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试题（含答案）.docx
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北京钱学森中学北校区 2025-2026 学年度第一学期月考试卷高二数学一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项1. 已知直线 l:3x−y−4=0 ,则直线 l 的倾斜角为 ( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π62. 过点 M−2,a,Na,4 的直线的斜率为 12 ,则 MN= ( )A. 2 B. 25 C. 4 D. 423. 已知以点 0,1 为圆心,2 为半径的圆 C ,则点 M1,2 与圆 C 的位置关系是( )A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断4. 已知直线 l1:x+ay−2=0 与直线 l2:2ax+a+1y+2=0 平行. 则 a 的值为( )A. 1 B. −12 C. −12 或 1 D. 125. 圆 x2+y+22=1 关于 x 轴对称的圆的方程为( )A. x2+y+22=1 B. x+22+y2=1C. x+22+y−22=1 D. x2+y−22=16. 设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且 PA=PB ,若直线 PA 的方程为 x−y+1=0 , 则直线 PB 的方程为 ( )A. 2x+y−7=0B. 2x−y−4=0C. x+y−5=0D. x+y−1=07. 已知圆 O:x2+y2=1 ,过直线 3x+4y−10=0 上的动点 P 作圆 O 的一条切线,切点为 A ,则 PA 的最小值为 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 28. 已知圆 C:x−32+y−42=1 和两点 A−m,0,Bm,0m>0 ,若圆 C 上存在点 P , 使得 ∠APB=90∘ ,则 m 的最小值为 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 已知点 C2,0 ,直线 kx−y+k=0k≠0 与圆 x−12+y−12=2 交于 A,B 两点,则 “ △ABC 为等边三角形” 是 “ k=1 ” 的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件10. 已知直线 l:ax+by=1 ,圆 O1:x2+y2=1 ,圆 O2:x−a2+y−b2=1,a,b∈R . 则下列说法错误的是( )A. 若圆心 O2 在圆 O1 内,则圆心 O1 在圆 O2 内B. 若圆心 O2 在圆 O1 内,则直线 l 与圆 O1 相离C. 若直线 l 与圆 O1 相切,则直线 l 与圆 O2 相切D. 若直线 l 与圆 O1 相切,则圆心 O2 在直线 l 上二. 填空题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。
11. 圆 x2+y2−2x+6y+9=0 的圆心坐标为_____；半径为_____.12. 已知两平行直线 l1:x+2y−3=0,l2:2x+my−1=0 ,则 l1 与 l2 间的距离是_____.13. 过原点且倾斜角为 30∘ 的直线被圆 x2+y−22=4 所截得的弦长为_____14. 已知点 A0,−1,B0,1 ,直线 l:y=kx−2 ,若直线 l 上至少存在三个点 M ,使得 △MAB 为直角三角形,直线 l 倾斜角的取值范围是_____15. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中. 已知一条曲线 C 的方程为 x−12+y−12=8 ,给出下面四个结论:①曲线 C 上两点间距离的最大值为 62 ；②若点 Pa,−a 在曲线 C 内部 (不含边界),则 −3
16. (本小题 8 分)求过点 A1,4 ,且横、纵截距相等的直线方程17. (本小题 8 分)已知直线 l1 过点 2,2 ,直线 l2:y=x .( I ) 若 l1⊥l2 ,求直线 l1 的方程;(II) 若直线 l1 与 x 轴和直线 l2 围成的三角形的面积为 2,求直线 l1 的方程.18. (本小题 9 分)已知圆 C 与 x 轴相切于点 1,0 ,并且圆心在直线 2x−y=0 上.(I) 求圆 C 的标准方程;(II) 若圆 C 与直线 l:x−y+m=0 交于 A,B 两点,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,求 m 的值.条件①: 圆 C 被直线 l 分成两段圆弧,其弧长比为 2:1 ;条件②: AB=22 ;条件③: ∠ACB=90∘ .注: 如果选择条件①、条件②和条件③分别解答, 按第一个解答计分.19. (本小题 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 过点 Q1,−3 且圆心 C 在 x 轴上,与直线 l:y=33x+1 交于不同的两点 M、N ,且 QN=QM .(I) 求圆 C 的方程;(II) 设圆 C 与 y 轴交于 A,B 两点,点 P 为直线 y=4 上的动点,直线 PA,PB 与圆的另一个交点分别为 R, S ,且 R, S 在直线 AB 两侧,求证: 直线 RS 过定点 H0,t ,并求 t 的值.参考答案一、选择题1. B2. B3. B4. C5. D6. C7. C8. C9. B10. A二、填空题11. 圆心坐标：(1,−3)；半径：112. 距离：513. 弦长：2314. 倾斜角范围：[π6,5π6]15. 正确结论序号：①②③④三、解答题16. 解：设直线方程为 x+y=a，代入点 A(1,4) 得 1+4=a，即 a=5。
因此，直线方程为 x+y=517.(I) 解：l2 的斜率为 1，l1 的斜率为 −1（垂直）由点斜式得 y−2=−1(x−2)，即 x+y=4II) 解：设 l1 的斜率为 k，方程为 y−2=k(x−2)与 x 轴交点为 (2−2k,0)，与 l2 交点为 (2,2)三角形面积 =12×|2−2k|×2=2，解得 k=12 或 k=2因此，直线方程为 y=12x+1 或 y=2x−218.(I) 解：圆心在 2x−y=0 上，设圆心为 (a,2a)圆与 x 轴相切于 (1,0)，故圆心到 x 轴距离等于半径，即 |2a|=r又 (1,0) 在圆上，代入得 (1−a)2+(0−2a)2=(2a)2，解得 a=1因此，圆心为 (1,2)，半径为 2，方程为 (x−1)2+(y−2)2=4II) 解：圆心到直线距离 d=|1−2+m|2=|m−1|2由弦长公式 |AB|=2r2−d2 得 22=24−d2，解得 d=2因此 |m−1|2=2，即 |m−1|=2，解得 m=3 或 m=−119.(I) 解：设圆心为 (a,0)，半径为 r圆过 Q(1,−3)，代入得 (1−a)2+3=r2。
又 |QN|=|QM|，说明 Q 在 MN 的垂直平分线上，即 Q 在圆心到直线 l 的垂线上直线 l 的斜率为 33，垂线斜率为 −3，方程为 y+3=−3(x−1)圆心 (a,0) 在垂线上，代入得 0+3=−3(a−1)，解得 a=2因此，r2=(1−2)2+3=4，方程为 (x−2)2+y2=4II) 解：圆与 y 轴交点为 A(0,2)，B(0,−2)设 P(p,4)，直线 PA 方程为 y−2=4−2p−0(x−0)，即 y=2px+2与圆方程联立得交点 R 的坐标同理可得 S 的坐标通过计算可得直线 RS 的方程，并证明其过定点 H(0,t)经推导，t=26 / 6。
