(精华讲义)数学人教版高二-选修2-1导数及其应用(精品).doc

更多精品讲义请关注公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品导数及其应用复习讲义一、 知识复习：1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数在点处的导数记作2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数: ①（C为常数） ②③; ④;⑤ ⑥; ⑦; ⑧.二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：。

2.复合函数的导数形如的函数称为复合函数法则： .三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数2）如果在某区间内恒有，则为常函数2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.3．函数的最值：一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值函数求函数的一般步骤：①求函数的导数，令导数解出方程的跟②在区间列出的表格，求出极值及的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值4．相关结论总结：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.5.定积分（1）概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式基本的积分公式：＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）（2）定积分的性质①（k为常数）；②；③（其中a＜c＜b3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（a

例2．求函数y=的导数解析：，，= 点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础题型2：导数的基本运算例3．（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y’==；（5）y＝－x＋５－y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量例4．写出由下列函数复合而成的函数： （1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+)；（2）y=ln(lnx)点评：通过对y=（3x 2展开求导及按复合关系求导，直观的得到=..给出复合函数的求导法则，题型3：导数的几何意义例5．（1）函数的单调递增区间是 ( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案 D解析 ,令,解得,故选D．（2）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得几何，即，∴∴，∴切线方程，即选A点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

例6．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ( )yababaoxoxybaoxyoxybA ． B． C． D．解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.（2）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 解析：（2）曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果题型4：借助导数处理单调性、极值和最值例7．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ ）A．f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）C．f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个（3）已知函数,其中 （1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以△,即, 此时方程的根为,,所以 当时,x( ∞,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x( ∞,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,,令得或(舍去), 当时,,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.例8．（1）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域，由。

因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得（2）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A. B. 1 C. 2 D. 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：，故选A.点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力题型5：导数综合题例9．1、已知二次函数，若不等式的解集为C.（1）求集合C；（2）若方程在C上有解，求实数的取值范围；（3）记在C上的值域为A，若的值域为B，且，求实数的取值范围． [解]（1） 当时， 当时， 所以集合 （2） ，令则方程为 当时，， 在上有解，则 当时，， 在上有解，则 所以，当或时，方程在C上有解，且有唯一解。

（3） ①当时，函数在单调递增，所以函数的值域， ∵ ， ∴，解得，即 ②当时，任取，10 若，∵，，，∴ ∴，函数在区间单调递减，∴：又，。