答案-高中数学必做100题--数学选修1-1.doc
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高中数学必做100题—选修1-1班级： 姓名： （说明：《选修1-1》部分共精选12题，“◎”表示教材精选，“☆”表示《精讲精练.选修1-1》精选）1. 已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围. （☆P6 9）解：∵﹁p 是﹁q必要不充分条件， ∴ ，即.……（3分） 解得，即：. ……（6分）解变形为，解得，即. ……（9分）由，则，解得. 所以实数的取值范围 ……（12分）2. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹.（◎P41 例6） 解：设是点到直线的距离，根据题意得，点的轨迹就是集合，……（4分）由此得将上式两边平方，并化简，得……（9分）所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆 ……（12分）3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程. （◎P68 4）解：椭圆焦点为，根据题意得双曲线的焦点为，……（3分）设双曲线的标准方程为，且有……（6分）又由，得，得，……（10分）所求双曲线的方程为……（2分）4. 倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长. （◎P61 例4）解：设，到准线的距离分别为，由抛物线的定义可知，于是。
……（3分）由已知得抛物线的焦点为，斜率，所以直线方程为……（6分）将代入方程，得，化简得由求根公式得，……（9分）于是所以，线段AB的长是8……（12分）5. 当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？解：当时，，方程表示圆心在原点的单位圆……（3分）当时，，方程表示圆心在原点的单位圆……（5分）当时，，方程，得表示与轴平行的两条直线……（7分）当时，，方程表示焦点在轴上的双曲线……（9分）当时，，方程表示焦点在轴上的等轴双曲线……（12分）6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？解：（1）设抛物线方程.……（2分） 由题意可知，抛物线过点，代入抛物线方程，得 ， 解得，所以抛物线方程为. ……（6分）（2）把代入，求得. ……（9分）而，所以木排能安全通过此桥. ……（12分）7. 已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.解：设椭圆C的方程为，由题意a=3，c=2，于是b==1. ……（3分）∴ 椭圆C的方程为＋y2＝1．……（5分）联立方程组，消y得10x2＋36x＋27＝0，因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，故线段AB的中点坐标为（）．……（12分）8. 在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短, 并求最短距离.解：设与直线平行，且与抛物线相切的直线为.……（3分）由， 消x得.……（5分）∴ ，解得，即切线为.……（7分）由，解得点. ……（9分）∴ 最短距离.……（12分）F1MOF29. 点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60º，求△F1MF2的面积.解：由，得a=8，b=6，.……（3分）根据椭圆定义，有.……（5分）在△F1MF2中，由余弦定理，得到. 即 ，……（7分），解得.……（10分）△F1MF2的面积为：.……（12分）10. （06年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （☆P21 例4）（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解：（1）设所求椭圆方程为(a>b>0),其半焦距c=6，……（2分）……（4分）∴,b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为． ……（6分）（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6). ……（8分）设所求双曲线的标准方程为，由题意知，半焦距c1=6，，,b12=c12-a12=36-20=16. 所以，所求双曲线的标准方程为．……（12分）11. 已知函数（为自然对数的底）. （1）求函数的单调递增区间；（2）求曲线在点处的切线方程. 解：，因此有……（3分） （1）令，即函数的单调递增区间是；……（6分）（2）因为，，……（9分）所以曲线在点处的切线方程为，即.……（12分）12. 设函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的极大值和极小值.解：∵ f′(x)=－x2+4x－3=－(x－3)(x－1), ……（2分）（1）由f′(x)>0，解得：1
