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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟230一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．问题:1. 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f'(0)存在，则函数A.在x=0处左极限不存在．B.有跳跃间断点x=0．C.在x=0处右极限不存在．D.有可去间断点x=0．答案:D[解析] 由题设，可推出f(0)=0，再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可． 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0． 于是有存在，故x=0为可去间断点． [评注]1．本题也可用反例排除，例如f(x)=x，则此时可排除(A)，(B)，(C)三项，故应选(D)． 2．若f(x)在x=x0处连续，则.问题:2. 函数在下列哪个区间内有界．A.(-1，0)．B.(0，1)．C.(1，2)．D.(2，3)．答案:A[解析] 如f(x)在(a，b)内连续，且极限存在，则函数f(x)在(a，b)内有界． 当x≠0,1,2时，f(x)连续，而，， 所以，函数f(x)在(-1，0)内有界，故选(A)． [评注]一般地，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在闭区间[a，b]上有界；如果函数f(x)在开区间(a，b)内连续，且极限存在，则函数f(x)在开区间(a，b)内有界．问题:3. 曲线渐近线的条数为A.0．B.1．C.2．D.3．答案:C[解析] 由，知x=1为垂直渐近线；由，知y=1为水平渐近线；由知没有斜渐近线．故选(C)． [评注]若求渐近线的上述极限不存在，则须考虑单侧极限，即考虑一侧是否有这三种渐近线．另外，易知在曲线的同侧若有水平渐近线，则一定没有斜渐近线． 问题:4. 设{un}是数列，则下列命题正确的是 (A) 若收敛，则收敛． (B) 若收敛，则收敛． (C) 若收敛，则收敛． (D) 若收敛，则收敛．答案:A[解析] 利用级数敛散性的性质． 若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛，因此应选(A)．问题:5. n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的A.充分必要条件．B.充分而非必要条件．C.必要而非充分条件．D.既非充分也非必要条件．答案:B[解析] 有n个线性无关的特征向量． 当λ1≠λ2时，λ1与λ2的特征向量必线性无关．因此，若A有n个不同的特征值，则矩阵A必有n个线性无关的特征向量．那么矩阵A必可相似对角化．由于矩阵A的特征值有重根时，矩阵A仍有可能相似对角化，所以特征值不同是A能相似对角化的充分条件，并不必要．故应选(B)． 问题:6. 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C为A.E．B.-E．C.A．D.-A．答案:A[解析] 由 由 那么 B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E 故应选(A)． 问题:7. 设A、B为随机事件，且P(B)＞0，P(A|B)=1，则必有A.P(A∪B)＞P(A)．B.P(A∪B)＞P(B)．C.P(A∪B)＝P(A)．D.P(A∪B)＝P(B)．答案:C[解析] ,得到P(AB)=P(B)根据加法公式，有P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(AB)＝P(A)．问题:8. 设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2…Xn(n≥2)为来自该总体的简单随机样本．则对于统计量 A.ET1＞ET2，DT1＞DT2．B.ET1＞ET2，DT1＜DT2．C.ET1＜ET2，DT1＞DT2．D.ET1＜ET2，DT1＜DT2．答案:D[解析] 二、填空题问题:1. 设可导函数y=y(x)由方程确定，则______.答案:-1[解析] 先由方程求出x=0时y=0，再两边对x求导，属基础题型． 由，令x=0，得y=0． 等式两端对x求导得，， 将x=0，y=0代入上式，． [评注] 利用变限积分求鲁公式时，被积函数中不能含有x及x的函数． 问题:2. 函数，则积分=______．答案:[解析] 因为 问题:3. 微分方程。

满足的特解为y＝______．答案:[解析] 本题为齐次方程的求解，可令 令，则原方程变为 即，将y|x=1=1代入左式得C＝e，故满足条件的方程的特解为ex 问题:4. 设某产品的需求函数为Q＝Q(P)，其对价格P的弹性εp=0.2．则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加______元．答案:8000[解析] 设收益为R，则R=QP 所以 将Q＝10000代入有 问题:5. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为______．答案:2[解析] 因为f(x1，x2，x3)=2x21+2x22+2x23+2x1x2-2x2x3+2x3x1．二次型f的矩阵是 易见秩r(A)=2，故二次型f的秩为2． [注意] 若认为二次型的标准形是f=y21+y22+y23，从而秩r(f)=3就错误了． 因为对于①而言，由于行列式 从而①不是坐标变换，因而f=y21+y22+y23不是f的标准形． 问题:6. 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则cov(X，XY2)=______．答案:σ2(σ2+μ2)[解析] cov(X，XY2)＝E(X2Y2)-EX·E(XY2)． 由于X与Y相互独立，所以 E(X2Y2)=EX2·EY2＝[DX+(EX)2][DY+(EY)2]＝(σ2+μ2)2 E(XY2)＝EXEY2＝μ(σ2+μ2) 总之cov(X，XY2)=(σ2+μ2)-μ2(σ2+μ2)＝σ2(σ2+μ2)． 三、解答题在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．问题:1. 求极限 答案:[分析] 化为指数形式，用洛必达法则及等价无穷小替换．[解] [评注] ，本题是未定式00型． 问题:2. 求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．答案:[分析] 先求函数的驻点，再用二元函数取得极值的充分条件判断．[解] 问题:3. 计算二重积分，其中D＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}．答案:[分析] 被积函数f(x，y)=max(xy，1)是分区域函数，要利用积分的可加性分区域积分． 问题:4. 证明方程恰有两个实根．答案:[分析] 构造辅助函数，利用零点定理及函数的单调性判断根的个数．[证明]令则 由f'(x)=0得，显然，即为一个实根． 当时，f'(x)＜0，则f(x)在区间 上单调递减； 当时，f'(x)＞0，则f(x)在区间上单调递增，且 所以，方程在内还有一实根．综上所述得方程恰有两个实根．问题:5. 已知函数f(x)满足方程f''(x)+f'(x)-2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex． (Ⅰ)求f(x)的表达式． (Ⅱ)求曲线的拐点．答案:齐次线性微分方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0的特征方程为：r2+r-2=0， 特征根为：r1=1，r2=2，因此齐次微分方程的通解为：f(x)=C1ex+C2e-2x． 于是f'(x)=C1ex-2C2e-2x，f"(x)=C1ex+4C2e-2x， 代入f"(x)+f(x)=2ex得2C1ex+5C2e-2x=2ex，从而C1=1，C2=0， 故f(x)=ex． (Ⅱ) 显然，y"(0)=0，且当x＞0时，y"＞0，当x＜0时，y"＜0． 故所求拐点为(0，0)． 问题:6. 设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为 而另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1＝(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T (1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系； (2)当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解． 答案:对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有 得方程组(Ⅰ)的基础解系为 β1＝(5，-3，1，0)T，β2＝(-3，2，0，1)T (2)设γ是方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解，则 γ＝x1β1+x2β2＝+x3α1-x4α2 那么x1β1+x2β2+x3α1+x4α4＝0． 对系数矩阵A＝(β1，β2，α1，α2)作初等行变换，有 由γ≠0x1，x2，x3，x4不全为0r(A)＜4a=-1． 当a=-1时 得基础解系 η1＝(-1，-1，1，0)T，η2＝(-4，-7，0，1)T 所以Ax＝0的通解为 k1η1+k2η2＝(-k1-4k2，-k1-7k2，k1，k2)T 故方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解 问题:7. 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)＝n．答案:[证] 必要性．设BTAB是正定矩阵，按正定定义 恒有XT(BTAB)X＞0即(Bx)TA(Bx)＞0 那么恒有Bx≠0．从而齐次方程组Bx=0只有零解，故秩r(B)=n． 充分性．因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知BTAB为实对称矩阵． 当秩r(B)=n时，Bx=0只有零解，那么恒有Bx≠0．因为A是正定矩阵，那么当Bx≠0时必有(Bx)TA(Bx)＞0，所以恒有xT(BTAB)x＞0，故矩阵BTAB是正定矩阵．问题:8. 设二维随机变量(x，y)的概率密度为 f(x,y)=Ae-2x2+2xy-y2，-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞， 求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)． 答案:[解] 方法一 常数A可以通过性质来求． 而 其中 其实fx(x)中带有常数A，所以用来求A．还不如用来求A. 所以先求 又由于，即 当fx(x)＞0时，等价于当-∞＜x＜+∞时， [评注] 这方法中用了公式，此公式也可以从服从正态N(0，)的密度函数的积分等于1来推出． 方法二 二维正态概率密度一般形式为 对比本题所给二维密度，可知μ1＝μ2＝0，且 由此解得和 这时的边缘密度 问题:9. 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=(i=-1，0，1)，Y的概率密度． (Ⅰ)求 (Ⅱ)求Z的概率密度fz(Z)。