初中教学数列斐波那契.doc

1《《斐波那契数列斐波那契数列》》主题探究教学设计方案主题探究教学设计方案一、概述一、概述本主题为人教课标必修 5 第二章——《数列》中关于有阅读与思考的内容． 本主题是在已有数列基本知识的基础上，探索斐波那契数列的发展历史、实际生活中 的斐波那契数列，以及斐波那契数列的一些特性．斐波那契数列与实际生活联系比较紧密， 有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质．使学生体会数学的科学价值、应用价值， 领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识．二、教学目标分析二、教学目标分析1．进一步巩固数列的相关知识，加深对数列的认识，能在具体问题情境中，发现数列 的关系，并能用有关知识解决相应的问题． 2．初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价 值，开拓视野，激发学习数学的兴趣，提高自身的文化素养和创新意识． 三、学习者特征分析三、学习者特征分析学生已经掌握数列、等差、等比数列的知识，能在具体的情境问题中，发现数列中特 殊的关系：等差或等比关系，能用相关知识解决相应的问题．部分学生有一定的自主学习 能力、协作学习能力．但应用意识不强，创新能力不强，因此需要一定的指导． 学生具有一定的计算机运用能力，能够通过网络搜索相关资源，能借助计算机解决相 应的问题．四、教学策略选择与设计四、教学策略选择与设计主要采用网络探究，小组协作的方式，在复习数列相关知识，然后逐步探究斐波那契 数列的历史、应用、特征，教师做好指导、协调工作，对于学生探究结论给予相应评价．五、教学资源与工具设计五、教学资源与工具设计1． 人教 A 版普通高中课程标准实验教科书必修 5； 2． 网络课件；23． 斐波那契数列计算器； 4． 网络型多媒体教室．六、教学过程六、教学过程本主题共需 1 个课时．具体安排如下： （一）问题引入 由学生计算，教师给予相应的指导． 如果一对兔子每月能生 1 对小兔子（一雄一雌） ，而每 1 对小兔子在它出生后的第三个 月里，又能生 1 对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由 1 对出生的小兔子开始，50 个 月后会有多少对兔子？ 提示：每月底兔子对数是： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……， 50 个月后是 12586269025 对． 这就是著名的斐波那契数列． 或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、鹦鹉螺的螺旋线…… 都遵循这个数列．你能写出以后的项吗？ 设计意图：通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列 有感性认识． （二）数列知识 1．数列的起源 人们对数列的研究主要源于生产、生活的需要，以及出于对自然数的喜爱．数是刻画 静态物体下的量，一系列的数刻画物体的变化情况，这些按一定顺序排列着的一列数称为 数列（sequence of number） ．数列是刻画离散过程的重要数学模型，在生活中经常遇到的存 款利息、细胞分裂等问题都与数列有关． 在古希腊，对毕氏学派而言，万物都是数．他们将数用小石子排列成各种形状，可以 排成三角形的小石子数称为三角形数，可以排成正方形的小石子数称为正方形数． 三角形数： 正方形数：五边形数：3每种多边形数均是一个数列． 设计意图：让学生对于数列的起源有所了解，便于理解研究数列的意义．2．数列的相关知识 让学生快速梳理数列的基本知识：（1）数列的一般形式：    ,,,,,321naaaa，简记为}{na．（2）数列的表示方法：（1）列表法；（2）图象法；（3）通项公式法． （3）数列的分类：项数有限无限：  减减减减减减减减项数的随序号的变化情况：  减减减减减减减减减减减减减减减（4）数列通项公式：)(nfan；主要方法： ①观察数列的特点，寻找项数与对应序号的关系． ②化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列） ．③逐差全加（对于后一项与前一项差中含有未知数的数列） ．例如：数列}{na中，naaann2, 111，求na．④逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列） ．例如：数列}{na，12, 111nnaaann，求na． ⑤正负相间：利用n) 1(或1) 1(n．⑥（隔项有零：利用] 1) 1[(21n或] 1) 1[(211n．（5）数列求和的主要方法 ①利用等差或等比的求和公式． 4②利用通项列项求和． ③错项相减法：适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和． ④倒序相加法：例如等差数列求和公式的推导． ⑤配对法：适合某些正负相间型的数列． 学生思考：若我们分别以nnnPTS,,来代表下图的正方形数、三角形数及五边形数，你能发现求出通项公式吗？三者的关系呢？（可以借助图形特点）n 个n 个n 个n 个教师给予适当的指导． 提示：由上图我们不难看出：2nSn．而2) 1( nnTn．每个正方形数都可以看成两个三角形数的和1nnnTTS．5n 个观察五角形数可以知道1)(32)-(3741) 13(]}1) 1(3[{) 13(11    nnnnPnpPnnn即2) 13(22) 1(3)23(23)23(11   nnnnnnTnkkPnnknkn设计意图：让学生回顾数列的基本知识，便于将知识系统化，能更好的从整体上把握， 灵活应用数列解决相应问题． 3．数列与函数的关系 让学生回顾．数列可以看成是定义域为正整数集*N（或它的有限子集）的函数．当自变量顺次从6小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数 列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是 一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数．数列具有函数的一般性质，可以借助数形 结合的思想研究问题，但研究的侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等， 数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等． 设计意图：回顾函数与数列的关系，进一步加深认识研究数列的角度和意义． 4．特殊数列 让学生填写下列表格：名称等差数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫 等差数列（arithmetic sequence） ，这 个常数叫做等差数列的公差 （common difference） ，通常用字母 d 表示．一般地，如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列就叫等比数列 （geometric sequence） ，这个常数叫做 等比数列的公比（common ratio） ，通常 用字母 q 表示．通项公式dnaan) 1(1等差数列实际是一次型函数， 是最简单的递推数列1 1n nqaa等比数列实际是指数型函数．前 n 项和 公式dnnnaaanSn n2) 1( 2)(11) 1(11)1 (11qaa aSnnn．比例中项等差中项：三个数bAa,,成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中 项（artithmetic mean） ．2baA等比中项：三个数bGa,,成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项． abG ．设计意图：对比中学中重要的两个特殊数列：等差数列和等比数列的性质，加深对这 两种数列的理解和应用，通过系统比较能更好的理解． （三）斐波那契 教师适当的加以介绍，可以在让学生利用互联网收集相关资料． 中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175 年～1259 年）出生在意大利比萨市的一个商 人家庭．因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到 欧洲的阿拉伯数学．成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、 法国和意大利的西西里岛． 斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究．他发现当时阿拉伯数学要 比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展．他在其他国家和地区经商的同时， 特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料．回国后，便将这些资料加以研究和整理， 编成《算经》 （1202 年，或叫《算盘书》 ） ． 《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学 家．继《算经》之后，他又完成了《几何实习》 （1220 年）和《四艺经》 （1225 年）两部著 作．7《算经》在当时的影响是相当巨大的．这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉 丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被 奉为经典著作． 在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内， 一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零” ．斐波那契的《算经》 ，介绍了阿拉 伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生 了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌．他在这本书的序言中写道：“我把自己的一 些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本 15 章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏． 在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了 严格的证明．书中记载的一个有趣的问题：理想中的兔子繁殖问题，兔子每个月对数就构成了著名的斐波那契数列．据载首先是由 19 世纪法国数学家吕卡将级数}{nF：1，1，2，3，5，8，13，21，34，.命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列， 在数学的许多分支中有广泛应用．1963 年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究数列． 设计意图：设计意图：了解斐波那契的历史，提高学习数学的兴趣，感受数学家的严谨态度和锲 而不舍的探索精神． （四）斐波那契数列特性（四）斐波那契数列特性 小组探究，归纳总结结论，可以参照提示，对于能力较强的小组可以进一步探究其它 性质．教师对于各小组的探究过程加以评价．斐波那契数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……1．通项公式 观察斐波那契数列项数之间有什么关系？提示：从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用nF表示第 n 项，则有)3(21nFFFnnn．通过递推关系式 )3(2 , 1121nFFnFnnn ，我们可以一步一个脚印地算出任意项，不过，当 n 很大时，推算是很费事的．我们必须找到更为科学的计算方法．你能否寻找到 通项公式，借助网络资源，能否给予证明？ 提示：1730 年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式        nnnS251 25151，19 世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式．可以利用归纳法证明． 网络资源：求斐波那契数列的通项公式． 2．项间关系 根据下列问题分组探究，写下探究的结果．有能力的学生可以继续研究其他性质．提 供斐波那契数列计算器的网页．8斐波那契数列有许多奇妙的性质，下面一起研究部分性质： （1）问题：观察相邻两项之间有什么关系？相邻两项互素， （1,nnFF）（2）1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， … 第 3 项、第 6 项、第 9 项、第 12 项、……的数字，有什么共同特点？ 提示：能够被 2 整除． 第 4 项、第 8 项、第 12 项，能够被 3 整除． 第 5 项、第 10 项、……的数字，能够被 5 整除． 你还能发现哪些类似的规律？（3）23211  nnFFFFF如果你把前五加起来再加 1，结果会等于第七项；如果把。