第三章-习题解答

1、第三章 多维随机变量及其分布I 教学基本要求1、了解多维随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解二维随机变量的分布函数的概念与性质；理解二维离散型随机变量的分布列、二维连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、理解二维随机变量的边际分布函数、边际分布列、边际密度函数；4、理解随机变量的独立性概念；5、会求两个独立随机变量的简单函数的分布；6、了解条件分布，了解维随机向量.II 习题解答A组1、盒子里有3只黑球、2只红球、2只白球，现从盒中任取4只球，以表示取到的黑球个数，表示取到的红球个数，求(1) 的联合分布列；(2) 、？解：(1) 依题意可知的可能取值为0、1、2、3；的可能取值为0、1、2；且有、所以的联合分布列为：01230003/352/35106/3512/352/3521/356/353/350(2) ；.2、一个箱子共有100个灯泡，其中一、二、三等品分别为80个、10个、10个.现从中随机抽取一个，记、求的联合分布列？解：依题意有、所以的联合分布列为0101/108/1011/1003、设二维随机变量的联合分布函数为 求：(1) 未知常数、；(2) 联合密度函数；

2、(3) ？解：(1) 因为为分布函数，所以，又有、可得；又有，可知；(2) ；(3) .4、设随机变量、均服从上的均匀分布，且，求？解：又因为、均服从上的均匀分布，所以有，故.5、求第1、2题中关于、的边际分布列？解：(1) 第1题中的联合分布列为：01230003/352/35106/3512/352/3521/356/353/350可知、，所以的边际分布列为01231/3512/3518/354/35同理可求的边际分布列为0121/74/72/7(2) 第2题中的联合分布列为0101/108/1011/100可知、，所以的边际分布列为011/54/5同理可求的边际分布列为019/101/106、设二维随机变量的联合密度函数为求：(1) 未知常数；(2) 、？解：(1) 因为，所以有，计算积分可得，即；(2) ；.7、求第3题中关于、的边际分布函数？解：第3题中的联合分布函数为 所以、的边际分布函数的边际分布函数分别为 ； .8、求第6题中关于、的边际密度函数？解：第6题中的联合密度函数为记、分别为、的边际密度函数，则有；.9、设二维随机变量的联合密度函数如下：(1) ；(2) ；(

3、3) ；(4) ；求：(1) 未知常数；(2) 关于、的边际密度函数？解：(1) 由得，计算积分可得，即；于是，、的边际密为 ； ；(2) 由得，计算积分可得，即.于是，、的边际密度为；.(3) 由得，计算积分可得，即.于是，、的边际密度为；.(4) 由得，计算积分可得.于是，、的边际密度为；.10、设二维随机变量服从区域上的均匀分布，求关于、的边际密度函数？其中区域为：(1) ；(2) ；(3) .解：(1) 易知的联合密度函数为；、的边际密度为；.(2) 的联合密度函数为；、的边际密度为；.(3) 的联合密度函数为：；、的边际密度为；.11、二维随机变量的联合分布列为2580.40.150.30.350.80.050.120.03判断、是否独立？解：易求、的边际分布列为0.40.80.80.22580.20.420.38因为，所以、不独立.12、设的联合分布列为12311/61/91/1821/3问、取什么值时，、独立？解：易求、的边际分布列为：121/31/3+1231/21/9+1/18+、独立时有，可知，得；又由得分布列可知，即.13、判断第9题各小题中、是否独立？解：(1)

4、的联合密度函数为 ；、的边际密度为 、 易知，有，故、相互独立.(2) 的联合密度函数为、的边际密度为、易知，有，故、相互独立.(3) 的联合密度函数为、的边际密度为、易知，故、不独立.(4) 的联合密度函数为；、的边际密度为、易知，有，故、不独立.14、判断第10题各小题中、是否独立？解：(1) 的联合密度函数为；、的边际密度为、易知，有，故、相互独立.(2) 的联合密度函数为；、的边际密度为；易知，有，所以、不独立.(3) 的联合密度函数为；、的边际密度为、易知，有，所以、不独立.15、设的联合分布列为-10100.300.310.10.20.1求如下随机变量函数的分布列？(1) ；(2) ；(3) ；(4) .解：由的分布列可知0.300.30.10.20.1-101012000-101001111-100-101所以有(1) 的分布列为-10120.30.10.50.1(2) 的分布列为：-1010.10.80.1(3) 的分布列为：010.30.7(4) 的分布列为：-1010.40.50.116、二维随机变量的联合密度函数为求的密度函数？解：设的分布函数为，密度函数为，则(

5、1) 时，；(2) 时，；(3) 时，；(4) 时；故，所以.17、设、相互独立，且均服从参数为的指数分布，求的密度函数？解：、均服从参数为的指数分布，所以、的密度函数为、；设的密度函数为，则由卷积公式可得.18、设随机变量、相互独立，在上服从均匀分布，服从参数为的指数分布.求：、的密度函数？解：易知的密度函数和分布函数分别为、的密度函数和分布函数分别为、所以的密度函数为；的密度函数为.19、设的联合分布列为-10200.10.2010.30.050.120.1500.1求：(1) 时，的条件分布；(2) 时，的条件分布；(3) 、？解：(1)易求，所以有、；故时，的条件分布为-1022/31/92/9(2) 易求，所以有、故时，的条件分布为0124/51/50(3) ；.20、求第9题各小题的条件密度函数、？解：(1) 的联合密度函数为：；、的边际密度函数分别为 、 所以有 ； .(2) 的联合密度函数为：；、的边际密度分别为、所以有， ；， .(3) 的联合密度函数为：；、的边际密度为、所以有， ；， .(4) 的联合密度函数为：；、的边际密度为、所以有， ；， .21、设随机变量

6、、独立同分布.求随机向量的联合分布列，其中的分布为：(1) 二项分布；(2) 参数为的泊松分布；(3) 上的均匀分布；(4) 参数为的指数分布？解：(1) 因为，所以的分布列为，；又因为随机变量、独立，所以、的分布列为其中，.(2) 因为，所以的分布列为；又因为随机变量、独立，所以、的分布列为其中，.(3) 因为，所以的密度函数为；又因为随机变量、独立，所以、的概率密度为其中，.(4) 因为，所以的密度函数为；又因为随机变量、独立，所以、的概率密度为其中，.22、设、相互独立，分布函数分别为.求及的联合分布函数？解：设、的分布函数分别为、，则有；.B组1、随机地在1、2、3、4中任取一数，记为；再从1到之间随机地任取一数，记为，求的联合分布列？解：由题意知的可能取值为：1、2、3、4；的可能取值为：1、2、3、4；且有而，所以的联合分布列为：123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162、设二维随机变量服从区域上的均匀分布，求的联合分布函数？解：易知的联合密度函数为：；所以的联合分布函数为：(1) 当或时，；(2) 当且时，；(

7、3) 当且时，；(4) 当且时，；(5) 当且时，.故有：.3、设、具有相同的分布列，其分布列为-1011/41/21/4且，求：(1) 的联合分布列；(2) ？解：(1) 考查的联合分布列和边际分布列如下表-101-11/401/211/41/41/21/41依题意有，所以有进一步有，从而有；故的联合分布列为-101-101/4001/401/4101/40(2) .4、从1、2、3、4、5五个数中任取3数，记为取出的3个数中最小的数，为取出的3个数中最大的数.(1) 求的联合分布列；(2) 判断、是否独立？解：(1) 依题意知的可能取值为：1、2、3；的可能取值为：3、4、5；且有、；所以的联合分布列为12331/100042/101/10053/102/101/10(2)易求、的边际分布列分别为：1236/103/101/103451/103/106/10容易验证、不独立.5、某仪器由两个电子部件组成，记、为这两个电子部件的寿命(千小时)，已知二维随机变量的联合分布函数为求：(1) 关于、的边际分布函数；(2) 判断、是否独立；(3) 两个部件的寿命都超过100小时的概率？解：(1) 设、的边际分布函数分别为、，则有、.(2) 任意的、有，所以、相互独立.(3) 因为、相互独立，所以有.6、设、相互独立，且都服从参数的两点分布，记、，求的联合分布

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