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第三十八讲--数学归纳法

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1、第三十八讲数学归纳法班级_ 姓名_ 考号_ 日期_ 得分_一选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2nn3,那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是( )A.1 B.9C.10 D.n10,且nN*解析:210=1024103.故应选C.答案:C2.用数学归纳法证明1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)的过程中,第二步假设当n=k(kN*)时等式成立,则当n=k+1时应得到( )A.1+2+22+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+2k+2k+1=2k-1-1+2k+1C.1+2+22+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k解析:由n=k到n=k+1等式的左边增加了一项,故选D.答案:D3.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,(nN*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1(kN*)时的情况,只需展开( )A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3解析:假设n=k(k

2、N*)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故应选A.答案:A4.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2解析:边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的n-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n-1条.故选C.答案:C5.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为( )A.2k+1 B.2(2k+1)解析:当n=1时,显然成立.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1).答案:B6.对于不等式n+1(nN

3、*),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1,则n=k+1时,当n=k+1时,不等式成立.上述证法( )A.过程全都正确B. n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而是通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.答案:D二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.设S1=12,S2=12+22+12,Sn=12+22+32+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12,用数学归纳法证明Sn=时,第二步从“k”到“k+1”应添加的项为_.解析:由S1,S2,Sn可以发现由n=k到n=k+1时,中间增加了两项(k+1)2+k2.答案:(k+1)2+k28.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,则得出结论:_.解析:各等式的左边是第n个自然数到第3n-2个连续自然数的和,右边是奇数的平方,故得到

4、结论:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)29.探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+22!+11!(n1且nN*)的结果时,第一步n=_时,A=_.解析:第一步n=2时,A=(2-1)(2-1)!=1.答案:2 110.n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,当第二步假设n=2k-1命题为真时,进而需证n=_,命题也真.解析:n为正奇数,2k-1的后一项为2k+1.答案:2k+1三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.用数学归纳法证明对于任意正整数n,(n2-1)+2(n2-22)+n(n2-n2)=证明:(1)当n=1时,左边=12-1=0,右边=0,等式成立.(2)假设当n=k(kN*且k1)时等式成立,即(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)=则当n=k+1时,(k+1)2-1+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(

5、2k+1)(1+2+k)=k(k+1)k(k-1)+2(2k+1)=k(k+1)(k2+3k+2)= (k+1)2(k+1)-1(k+1)+1.当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)知,对任意nN*等式恒成立.12.求证: + (n2且nN*).证明:(1)当n=2时, 0,不等式成立.(2)假设n=k(k2且kN*)时,原不等式成立.即则当n=k+1时,左边=+ 当n=k+1时,原不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对n2的所有的正整数都成立,即+ (n2且nN*)成立.13.设数列an满足an+1=a2n-nan+1,nN*.(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;(2)当a12时,证明nN*,有ann+1.解:由a1=2,得a2=a21-a1+1=3,由a2=3,得a3=a22-2a2+1=4,由a3=4,得a4=a23-3a3+1=5.由此猜想an的一个通项公式为:an=n+1(nN*).(2)证明:当n=1时,a12,不等式成立.假设当n=k(kN*且k1)时不等式成立,即akk+1,那么当n=k+1时,ak+1=ak(ak-k)+1(k+1)(k+1-k)+1=k+2,也就是说,当n=k+1时,ak+1(k+1)+1.根据,对于所有nN*,都有ann+1.电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究7

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