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北京四中2016届高三数学下册开学考试数学(理数)试题卷(含答案)

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    • 1、高三数学(理科)第二学期开学测试卷(答案)(本卷答题时间120分钟,满分150分)班级 学号 姓名 (一)、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1复数( ) A. B. C. D.答案:D2已知集合,则 A B C D开始m =1, i=1m=m (2-i)+1i= i +1m=0?结束输出i是否答案:A3执行如图所示的程序框图,则输出的值为A B C D答案:B4 “”是“函数在上单调递增”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案:A5给出下列函数: ; ; ; .其中图象关于轴对称的是 A. B. C. D. 答案:B6. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )A B C D答案: A7. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且与轴交于点,若(为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为A. B. C. D. 8. 某地实行阶梯电价,以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价,即:一户居民用户全年不超过2880度(1度=千瓦时)的电量,执行第一档电价标准

      2、,每度电0.4883元;全年超过2880度至4800度之间的电量,执行第二档电价标准,每度电0.5383元;全年超过4800度以上的电量,执行第三档电价标准,每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正确的有 参考数据:0.4883元/度2880度=1406.30元,0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) (B) (C) (D)答案:B(二)、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共30分把答案填在答题纸上.9九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为:V(底面的圆周长的平方高)则圆周率的取值为 .答案:310口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个,每次从中取一个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取了5次停止种数为 。答案:4211在各项均为正数的等比数列中,若,则的最

      3、小值是 答案:12. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线的右支于点,若,则双曲线的离心率为 .答案:13如果实数满足关系则的取值范围为 .答案:14在 中,内角 所对的边分别为,若,且,则下列命题正确的序号是 .(1) (2)的周长为 (3)的面积为 (4)的外接圆半径为答案:(2),(3),(4) (三)、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置. 本大题共6小题,共80分15.(本小题满分13分)已知函数的图象过点.()求实数的值及函数的最小正周期;()求函数在上的最小值. 解:()由 . 因为函数的图象过点,所以.解得. 函数的最小正周期为. 7分()因为,所以. 则.所以当,即时,函数在上的最小值为. 13分 16(本题满分13分)某网店营销部门为了统计某市猴年春节期间在某网店购物情况,随机抽查了该市除夕当天名网络购物金额情况,得到如下数据统计表(如图(1):网购金额(单位:千元)频数频率合计(1)(2) 金额(千元)若购物金额超过千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与

      4、“网购达人”人数比恰好为()试确定,的值并完成图(2);()该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人,若需从这人中随机选取人进行问卷调查设为选取的人中“网购达人”的人数,求的分布列和数学期望解析:()根据题意,有 解得 , 6分()用分层抽样的方法,从中选取人,则其中“网购达人”有人,“非网购达人”有人 故的可能取值为0,1,2,3; , , 所以的分布列为: 13分17(本题满分14分)如图1,梯形中,,点为边上一点,,把沿边翻折成图2,使.(1)求证: ;EABCD图1图2()求平面与平面所成锐二面角的余弦值.证明:(1)取中点,连结,在中,AOBCDEFG 3分,yzxAOBCDE平面平面平面 平面4分四边形为直角梯形,四边形为正方形 6分又 平面7分()由(1)知两两互相垂直,故建立如图所示空间直角坐标系设,则,5分设平面的法向量为,则,取9分设平面的法向量为,则,取11分平面与平面所成锐二面角的余弦值为14分18(本题满分13分)设两个函数和,其中是三次函数,且对任意的实数,都有, .(1)求函数的极值;(2)证明:对

      5、于任意的都有成立.解:(1)由题意可设,则,得又,比较系数有,令,得;,得或故函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减故当时,当时,6分(2)要证明对于任意的都有成立只需证当时,当时,则当时,当时,函数在上单调递减,在上单调递增由(1)知对任意,又, 当时,成立故对于任意的都有成立13分19. (本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆的右顶点和上顶点分别为、,若的面积为且直线经过点(1)求椭圆的方程; (2)过点的动直线l交椭圆C于两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以为直径的圆恒过点T,若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由解析:(1)由题意,椭圆的上顶点为,右顶点为,则,即:,所以, 椭圆C的方程是x2+=15分 (2)若直线与轴重合,则以为直径的圆是,若直线垂直于轴,则以为直径的圆是由解得即两圆相切于点因此所求的点T如果存在,只能是 事实上,点就是所求的点证明如下:当直线垂直于轴时,以为直径的圆过点若直线不垂直于轴,可设直线由 即记点, 则 又因为,所以,即以为直径的圆恒过点所以在坐标平面上存在一个定点满足条件14分20. (本小题满分13分) 已知直角的三边长,满足(1)在之间插入2016个数,使这2018个数构成以为首项的等差数列,且它们的和为2018,求斜边的最小值;(2)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列,且,求满足不等式的所有的值;(3)已知成等比数列,若数列满足,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且是正整数.解:(1)是等差数列,即 所以,斜边的最小值为(当且仅当等号成立,此时数列中,) 4分(2)设的公差为,则设三角形的三边长为,面积,. 由得, 当时,经检验当时,当时,.综上所述,满足不等式的所有的值为2、3、4 5分(3)证明:因为成等比数列,.由于为直角三角形的三边长,知, 又,得,于是.,则有.故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.因为 , , 由,同理可得,故对于任意的都有是正整数4分

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