2020版人教A版数学选修4-4同步配套练习：第一讲 坐标系 1.1 Word版含解析

1、01第一讲坐标系一平面直角坐标系课时过关能力提升基础巩固1点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P的坐标为()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)答案B2给出下列曲线:直线;圆;椭圆;双曲线;抛物线.在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,以上曲线类型可能发生变化的是()A.B.C.D.解析只有圆和椭圆在伸缩变换中是可以互相转变的,其他三种曲线在伸缩变换后仍属于同类型的曲线.答案A3若ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(2,3),C(3,1),则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析|AB|=(2-1)2+(3-2)2=2,|BC|=(3-2)2+(1-3)2=5,|AC|=(3-1)2+(1-2)2=5,|BC|=|AC|AB|,故ABC为等腰三角形.答案A4在平面直角坐标系中,经过伸缩变换x=17x,y=4y后,曲线C变为曲线x2+y2=1,则曲线C的方程为()A.49x2+16y2=1B.49x2+y216=1C.x249+16y2=1D.x249+y216=1解析将伸缩变换x=17x,y=4y代入x2+

2、y2=1,得x249+16y2=1.答案C5已知有相距1 400 m的甲、乙两个观测站,在甲站听到爆炸声的时间比在乙站听到爆炸声的时间早4 s.若当时声音的传播速度为340 m/s,建立适当的平面直角坐标系,则爆炸点所在的曲线为()A.双曲线的一支B.直线C.椭圆D.抛物线答案A6在平面直角坐标系中,将点P(-2,2)变换为P(-6,1)的伸缩变换公式为()A.x=13x,y=2yB.x=12x,y=3yC.x=3x,y=12yD.x=3x,y=2y解析由伸缩变换公式x=x(0),y=y(0),得-6=(-2),1=2.所以=3,=12,故伸缩变换公式为x=3x,y=12y.答案C7在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸缩变换x=13x,y=2y后的直线方程为.解析由伸缩变换x=13x,y=2y得x=3x,y=12y,将其代入方程3x-2y+1=0,得9x-y+1=0.答案9x-y+1=08已知函数f(x)=(x-1)2+1+(x+1)2+1,则f(x)的最小值为.解析f(x)可看作是平面直角坐标系中x轴上的一点(x,0)到两定点(1,1)和(-1,1)的距离之和

3、,结合图形可得,f(x)的最小值为22.答案229在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x=12x,y=13y后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=2.解(1)由伸缩变换x=12x,y=13y,得x=2x,y=3y,将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x+3y=0.所以经过伸缩变换x=12x,y=13y后,直线5x+2y=0变成直线5x+3y=0.(2)将x=2x,y=3y代入x2+y2=2,得到经过伸缩变换后的图形的方程是x214+y219=2,即x212+y229=1.所以经过伸缩变换x=12x,y=13y后,圆x2+y2=2变成椭圆x212+y229=1.10在ABC中,底边BC的长为12,其他两边AB和AC上的中线CE和BD的和为30,建立适当的平面直角坐标系,求ABC的重心G的轨迹方程.解以BC边所在的直线为x轴,BC边上的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0).由|BD|+|CE|=30,得|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=2012,所以重心G的轨迹是椭圆.设G(x,y),则其轨

4、迹方程为x2a2+y2b2=1(ab0).易知a=10,c=6,由此可得b=8.因为点G不可能位于x轴上,所以x10.故重心G的轨迹方程为x2100+y264=1(x10).能力提升1在平面直角坐标系中,经过伸缩变换x=5x,y=3y后,曲线C变为曲线2x2+8y2=1,则曲线C的方程为()A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1D.225x2+89y2=1解析将x=5x,y=3y代入2x2+8y2=1,得2(5x)2+8(3y)2=1,即50x2+72y2=1.故所求曲线C的方程为50x2+72y2=1.答案A2若点P(-2 017,2 016)经过伸缩变换x=12 016x,y=12 017y后所得的点在曲线y=kx上,则k=()A.1B.-1C.2 016D.-2 017解析P(-2 017,2 016),x=-2 017,y=2 016,x=-2 0172 016,y=2 0162 017.将其代入y=kx,得k=xy=-1.答案B3已知点A(-1,3),点B(3,1),点C在坐标轴上,ACB=90,则满足条件的点C的个数是()A.1B.2

5、C.3D.4解析若点C在x轴上,可设点C的坐标为(x,0).由ACB=90,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得x1=0,x2=2.所以点C的坐标为(0,0)或(2,0).若点C在y轴上,可设点C的坐标为(0,y).由ACB=90,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以有(-1-3)2+(3-1)2=(0+1)2+(y-3)2+(0-3)2+(y-1)2,解之,得y1=0,y2=4.所以点C的坐标为(0,0)或(0,4).故满足条件的点C的个数为3.答案C4将双曲线C经过伸缩变换x=2x,y=13y后对应图形的方程为x2-y2=1,则双曲线C的焦点坐标为.解析由条件知点2x,13y在双曲线x2-y2=1上,4x2-y29=1.a2=14,b2=9,c2=a2+b2=374.c=372,焦点坐标为372,0.答案372,05在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x2-y2-4x+3=0,求满足条件的伸缩变换.解x2-36y2-8x+12=0可化为x-422-9y2

6、=1.x2-y2-4x+3=0可化为(x-2)2-y2=1.比较,可得x-2=x-42,y=3y,即x=x2,y=3y.故满足条件的伸缩变换为x=x2,y=3y.6在ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|DC|,建立适当的平面直角坐标系,求证:ABC为等腰三角形.证明如图,作AOBC,垂足为O,以BC边所在直线为x轴,以OA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).因为|AB|2=|AD|2+|BD|DC|,所以由两点间的距离公式得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).又d-b0,所以-b-d=c-d,即-b=c.故ABC为等腰三角形.7某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽为8 m,一艘木船的宽为4 m,高为2 m,载货后木船露在水面上的部分高为34 m,建立适当的平面直角坐标系,求水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船开始不能通航.解根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0).因为

7、A(4,-5)在抛物线上,所以42=-2p(-5),p=1.6.所以x2=-3.2y.设当水面上涨到与抛物线拱顶相距h m时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB的端点B的坐标为(2,y1).由22=-3.2y1,得y1=-54,h=|y1|+34=-54+34=2(m).所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.8有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A,B两地间的距离为10 km,顾客选择从A地或B地购买这种商品的标准是:运费和价格的总费用较低,试建立适当的平面直角坐标系,求从A,B两地购买的区域的分界线的形状,并指出线上、线内、线外的居民应如何选择购买地点?解以A,B所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.因为|AB|=10,所以A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择从A地购买商品,并设从A地购买的运费为3a元/千米,则从B地购买的运费为a元/千米.因为P地居民购买总费用满足条件:价格+A地运费价格+B地运费,即有3a(x+5)2+y2 a(x-5)2+y2.因为a0,所以3(x+5)2+y2(x-5)2+y2,两边平方,得9(x+5)2+9y2(x-5)2+y2,即x+2542+y21542.所以以点C-254,0为圆心,154为半径的圆是从两地购买的区域的分界线,圆C上的居民可从A,B两地之一购买,圆C内的居民从A地购买,圆C外的居民从B地购买.

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