2020版人教A版数学选修1-1同步配套练习：2.2.2　双曲线的简单几何性质 Word版含解析

1、2.2.2双曲线的简单几何性质课时过关能力提升一、基础巩固1.设双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为()A.y=2xB.y=2xC.y=22xD.y=12x解析:由题意得b=1,c=3,a=2.双曲线的渐近线方程为y=bax,即y=22x.答案:C2.若双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为()A.-14B.-4C.4D.14解析:mx2+y2=1是双曲线,m0,且其标准方程为y2-x21-m=1.虚轴长是实轴长的2倍,-1m=4,即m=-14.答案:A3.若实数k满足0k5,则曲线x216-y25-k=1与曲线x216-k-y25=1的()A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析:0k0,16-k0.对于双曲线x216-y25-k=1,实轴长为8,虚轴长为25-k,焦距为216+5-k=221-k;对于双曲线x216-k-y25=1,实轴长为216-k,虚轴长为25,焦距为216-k+5=221-k,因此两双曲线的焦距相等,故选D.答案:D4.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+

2、12=0上的等轴双曲线方程是()A.x2-y2=8B.x2-y2=4C.y2-x2=8D.y2-x2=4解析:令y=0,则x=-4,即c=4.又c2=a2+b2,a=b,c2=2a2,即a2=8.双曲线方程为x28-y28=1.答案:A5.若双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r0)相切,则r等于()A.3B.2C.3D.6解析:双曲线的渐近线方程为y=22x,圆心坐标为(3,0).由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切可得,圆心到渐近线的距离等于r,即r=|32+0|2+4=326=3.答案:A6.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a0,b0.矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2AB=3BC,则E的离心率是_.解析:由双曲线和矩形的对称性可知ABx轴,不妨设点A的横坐标为c,则由c2a2-y2b2=1,解得y=b2a.设Ac,b2a,Bc,-b2a,则|AB|=2b2a,BC=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-12(舍去),所以离心率为2.答案:27.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标是(

3、3,0),且焦距与虚轴长之比为54,则双曲线的标准方程为.解析:由题意得双曲线的焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为54,即cb=54,解得c=5,b=4,故双曲线的标准方程为x29-y216=1.答案:x29-y216=18.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点,且PF1PF2,|PF1|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是.解析:因为PF1PF2,所以有|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1|PF2|=4ab,|PF1|-|PF2|=2a,即4c2-4a2=8ab,所以b=2a,c2=5a2,即e=5.答案:59.求满足下列条件的双曲线方程:(1)以2x3y=0为渐近线,且经过点(1,2);(2)离心率为54,虚半轴长为2;(3)与椭圆x2+5y2=5共焦点,且一条渐近线方程为y-3x=0.解:(1)设所求双曲线方程为4x2-9y2=(0),将点(1,2)代入方程,可得=-32,故所求双曲线方程为4x2-9y2=-32,即9y232-x28=1.(2)由题意,得b=2,e=ca=54.令c=5k,a=4k,其中kR

4、,且k0,由b2=c2-a2=9k2=4,得k2=49.则a2=16k2=649,故所求的双曲线方程为9x264-y24=1或9y264-x24=1.(3)由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为(2,0),又双曲线的一条渐近线方程为y-3x=0,则另一条渐近线方程为y+3x=0.设所求双曲线方程为3x2-y2=(0),则a2=3,b2=.c2=a2+b2=43=4,即=3.故所求的双曲线方程为x2-y23=1.10. 如图,双曲线的中心为坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,F1PF2=3,且PF1F2的面积为23.又双曲线的离心率为2,求该双曲线的标准方程.解:设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),F1(-c,0),F2(c,0),P(x0 ,y0 ).在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 3=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,即4c2=4a2+|PF1|PF2|.又因为SPF1F2=23,所以12|PF1|PF2|sin 3=23.所以|PF1|PF2|

5、=8,所以4c2=4a2+8,即b2=2.又因为e=ca=2,所以a2=23.所以双曲线的标准方程为x223-y22=1.二、能力提升1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1解析:因为双曲线焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l平行,所以ba=2,可解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为x25-y220=1,故选A.答案:A2.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的左、右焦点.若在双曲线右支上有一点P,满足PF2=F1F2,且点F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A.3x4y=0B.3x+5y=0C.5x4y=0D.4x3y=0解析:由题意可知|PF2|=|F1F2|=2c,所以PF1F2为等腰三角形,所以由点F2向直线PF1作的垂线也是中线.因为点F2到直线PF1的距离等于双

6、曲线的实轴长2a,所以|PF1|=24c2-4a2=4b.又|PF1|-|PF2|=2a,所以4b-2c=2a,所以2b-a=c,两边平方可得4b2-4ab+a2=c2=a2+b2,所以3b2=4ab,所以4a=3b,即ba=43.所以该双曲线的渐近线方程为4x3y=0.答案:D3.已知椭圆C1:x2m2+y2=1m1与双曲线C2:x2n2-y2=1n0的焦点重合,e1 ,e2 分别为C1 ,C2 的离心率,则()A.mn,且e1e21B.mn,且e1e21C.m1D.mn,且e1e2n.e1=1-1m2,e2=1+1n2,e1e2=1-1m21+1n2=1+1n2-1m2-1m2n2=1+m2-n2-1m2n2=1+1m2n21.故选A.答案:A4.已知双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点为4,0,则双曲线的方程为_.解析:由条件知双曲线的右焦点为(4,0),所以a2+b2=16,ba=3,解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为x24-y212=1.答案:x24-y212=15.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的一个焦点,过点F的

7、直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为.解析:设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由题意知c=3,a2+b2=9.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式作差得y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)=-12b2-15a2=4b25a2.又因为直线AB的斜率是-15-0-12-3=1,所以4b2=5a2,代入a2+b2=9,得a2=4,b2=5,所以双曲线的标准方程是x24-y25=1.答案:x24-y25=16.已知双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的左、右焦点分别为F1-c,0,F2c,0.若双曲线上存在一点P,使sinPF1F2sinPF2F1=ac,则该双曲线的离心率的取值范围是_.解析:由正弦定理可得|PF1|=ca|PF2|.由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a,则ca|PF2|-|PF2|=2a,即|PF2|=2a2c-a.由双曲线的几何性质,知|PF2|c-a,则2a2c-ac-a,即c2-2ac-a20,所以e2-2e-10,解得-2+1e0,b0),则其渐近线方程为y=bax,即ba=3,则双曲线方程可化为x2a2-y29a2=1.双曲线过点P(3,-1),9a2-19a2=1,a2=809,b2=80. 所求双曲线的方程为x2809-y280=1.当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则其渐近线方程为y=abx,即ab=3,则双曲线方程可化为y29b2-x2b2=1.双曲线过点P(3,-1),19b2-9b2=1,得-809b2=1,此时方程无解.综上可知所求的双曲线方程为x2809-y280=1.8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,且a2c=33.(1)求双曲线C的方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.解:(1)由题意得a2c=33,ca=3,解得a=1,c=3.所以b2=c2-a2=2.所以双曲线C的方程为x2-y22=1.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0

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