高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理
7页1、第32章勃罗卡定理勃罗卡定理凸四边形内接于,延长、交于点延长、交于点与交于点联结,则证法1如图,在射线上取一点,使得,四点共圆(即取完全四边形的密克尔点),从而、及、分别四点共圆分别注意到点、对的幂,的半径为,则以上两式相减得,即同理,又由上述两式,有于是,由定差幂线定理,知证法2如图,注意到完全四边形的性质在完全四边形中,其密克尔点在直线上,且,由此知为过点的的弦的中点,亦即知,三点共线,从而同理,在完全四边形中,其密克尔点在直线上,且,亦有于是,知为的垂心,故证法3如图注意到完全四边形的性质,在完全四边形中,其密克尔点在直线上,且联结、此时,由密克尔点的性质,知、四点共圆,、四点共圆,即有,从而,即知点在的外接圆上同理,知点也在的外接圆上,亦即知为与的公共弦由于三圆,两两相交,由根心定理,知其三条公共弦,共点于即知,共线,故该定理有如下推论推论1凸四边形内接于,延长、交于点,延长、交于点,与交于点,直线与直线交于点,则为完全四边形的密克尔点事实上,若设为完全四边形的密克尔点,则在上,且由勃罗卡定理,知,即而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直,从而与重合,即与重合推论2凸四边形内接
2、于圆,延长、交于点,延长、交于点,与交于点,为完全四边形的密克尔点的充要条件是于推论3凸四边形内接于圆,延长、交于点,延长、交于点,与交于点,则为的垂心事实上,由定理的证法2即得,或者由极点公式:,两两相减,再由定差幂线定理即证下面给出定理及推论的应用实例例1(2001年北方数学邀请赛题)设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点,两对角线交于点,则圆心恰为的垂心事实上,由推论3知为的垂心,再由垂心组的性质即知为的垂心例2如图,凸四边形内接于,延长,交于点,延长,交于点,与交于点,直线交于点求证:证明由勃罗卡定理知,于点延长交于点,则在完全四边形中,点,调和分割,从而,为调和线束,而,于是平分,即延长交直线于点(或无穷远点),则知,调和分割,同样可得故例3(2011年全国高中联赛题)如图,锐角三角形的外心为,是边上一点(不是边的中点),是线段延长线上一点,直线与交于,直线与交于点求证:若,则,四点共圆证明用反证法若,四点不共圆,则可设的外接圆与直线交于点,直线交直线于直线交直线于联结,则由勃罗卡定理,知由题设,从而知即有对及截线,对及截线分别应用梅涅劳斯定理有及由,得再应用分比定理,有
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