河南省南阳市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题（含答案）

1、2017秋期终高三数学试题（理）及答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、已知：如图，集合为全集，则图中阴影部分表示的集合是A、U B、UC、U D、U解析：略2、已知是关于的方程 （）的一个根，则A、 B、 C、 D、解析：实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）.易得：3、已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是AB C D解析：由题可设双曲线的方程为：，将点代入，可得，整理即可得双曲线的方程为4、已知：，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是AB C D解析：由题意知，函数和的周期是一样的，故，不等式，即，解之得：5、已知各项均为正数的等比数列，若，则=_AB C D解析：令，其中，则，故，由可得，故6、已知：，则目标函数A，B，C，无最小值D，无最小值解析：如图：,显然7、设，、，且，则下列结论必成立的是 A. B. +0 C. D.解析：，故是偶函数，而当时，即在是单调增加的.由，可得，即有，即8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球

2、的表面积=AB C D解析：方法一：该多面体如图示，外接球的半径为,为外接圆的半径，故，方法二：只考虑三棱锥的外接球即可，而此三棱锥的侧棱与底面是垂直的，故其外接球的半径：（其中是三角形外接圆的半径）9、执行如图的程序框图，若输出的值是，则的值可以为ABC D解析：，；，；，；，；，故必为的整数倍。10、我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下：作一个正方形；以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；以为圆心，以长为半径作；以为圆心，以长为半径作交于，则为黄金三角形。根据上述作法，可以求出AB C D解析：不妨假设，则，故11、已知抛物线：（），过其焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则ABC D解析：，即，不妨设，则，即有，又因为，故：12、已知：，若方程有唯一的实数解，则ABCD解析：方法一：验证，当时，与在点处有共同的切线。方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数的一条切线，不妨设切点为，则有：，解之得：，二、填空题：13、_（小数点后保留三位小数）。答案：解析：14、已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角的大小是_

3、.答案：120解析：由条件知|a|，|b|2，ab(1，2)，|ab|，(ab)c，cos，其中为ab与c的夹角，60.aba，ab与a方向相反，a与c的夹角为120.15、已知：，则的取值范围是_【答案】解析：由得，易得，故，.16、 在四边形中，为等边三角形，则的外接圆与的内切圆的公共弦长=_.【答案】1解析：解析法：以为轴，的中点为坐标原点建立坐标系，利用解析法即可得。作图法：可以看出的公共弦即的中位线。三、解答题：17、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足（）（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和解：（1）当时，解得当时，两式相减得，化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，可得6分（2）由（1）得，当为偶数时，；当为奇数时，为偶数，所以数列的前项和12分18、（本小题满分12分）如图1，在平行四边形中，、分别为、的中点，现把平行四边形1沿折起如图2所示，连接、（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值证明：（1）取的中点，连接，在平行四边形中，、分别为、的中点，为正三角形，则，又，平面， 平面； 4分（2） ，、分别为、的中点， ，则，则三角形为直角三角形

4、，则，6分以为原点，以，为轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，0），C1（1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，），=（1，0，），设平面AB1C的法向量为，则， 令，则， 则，设平面A1B1A的法向量为，则，令，则，即，8分则 10分二面角的正弦值是.12分19、（本小题满分12分）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备M的性能等级（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；从样本中随意抽取2件

5、零件，计算其中次品个数的数学期望解析：（1），因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；4分（2）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06由题意可知，于是8分由题意可知的分布列为：012故 12分20、（本小题满分12分）平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（2，0）的直线与椭圆相交于不同两点、求证：；求面积的最大值解：（1）由题意可得， 令，可得，即有，又，所以，所以椭圆的标准方程为；4分（2）当时，显然，满足题意；当时，设，直线方程为，代入椭圆方程，整理得，则，所以，则则，即；8分当且仅当，即（此时适合0的条件）取得等号则面积的最大值是12分21、（本小题满分12分）已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直（1）求；（2）求证：当时，解析：（1）因为，故，故；依题意，；又，故，故，联立解得，； 4分（2）由（1）得，要证，即证；令， 6分令，故，在上单调增加，在单调减少。而，当时，当时，故当时，； 10分而当时，故函数所以，当时，即. 12分【选修4-4：极坐标与参数方程选讲】（本小题满分10分）22、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值解：（1）由得，化为直角坐标方程为5分（2） 将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 （*）由，故可设是方程（*）的两根，又直线过点，故结合的几何意义得：的最小值为10分【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）23、已知，函数的最小值为（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立解析：（1），由题设条件知，5分证明：（2），而，故.假设与同时成立即与同时成立,，则，这与矛盾，从而与不可能同时成立10分

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