流体力学 扩散理论

1、1,环境流体力学 第四章 扩散理论,2,4.1概述,，,关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。 理论基础：扩散与输移理论。 传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程。 扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。 随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。 离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。,3,4.2 分子扩散的费克定律，扩散方程,费克第一定律,费克第二定律,积分：,M为t=0时在x1=0处的扩散质的数量，这些扩散质沿x1方向扩散。表示浓度c沿x1分布规律，按指数规律急剧衰减。,4,4.3分子扩散的随机游动分析,自由程：一个分子在两次碰撞之间的运动距离； 假设分子的自由程为一固定值l，其运动平行于x1方向； 每个分子沿正x1方向运动和沿负x1方向运动的概率相等； 出现正号的次数为p，出现负号的次数为q； p+q=N，p-q=S， p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2，q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2 经过N次运动，分子向前运动的距离为Sl，这种情况的概率： p=N!/(p!q!)/2N：,5,分子

2、运动N是个大数，SN，有：lnn!=(n+1/2)lnn-n+ln2/2,令a表示分子运动速度，t为分子运动N次经历的时间；,N=at/l，Sl=x1,与 比较，Dm=la/2=Nl2/(2t),以Dm表示的分子在N次运动后到达x1处的概率,6,求在t时刻分子位于x1与x1+x1之间的概率P，分子到达x1后，下一步仍有1/2机会前进，1/2机会后退，每一步距离为l，下一步在x1与x1+x1的范围的机会为(1/2)(x1/l)，则：,分子沿x1作随机运动其概率密度(P/x1) 符合正态分布,标准差：,平均值：,方差：,随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致。,7,4.4移流（层流）扩散方程,流动流体除了分子扩散还有随流传输,流入扩散质cudydzdt，扩散量 流出扩散质dydzdt，扩散量,8,进出量之差：,在dt时间段微元体扩散质的增加量：,由于生物、化学等各种因素，扩散质的发生率Fc，质量守恒：,或,移流扩散方程,左边第一项是当地变化，第二项是移流变化； 右边第一项是分子扩散，第二项是产生或衰减的源汇项,9,4.5紊动扩散拉格朗日法,4.5.1单个质点的紊动扩散泰勒扩散理论,设标

3、志质点在y2方向的流速为v2（2表示拉格朗日流速）,假定紊流场在时间和空间是均匀的，只沿y方向一维扩散 取Y2 (0)点为原点，v2 (t)是随机变量，则Y2 (t)的统计平均值,10,每一质点取两个时刻的流速的乘积来平均,左边是距形微元从0到t的积分，是一正方形,的两个流速的乘积对许多质点的平均值,右边积分是个三角形,左边是右边的2倍,的意义是同一质点在时间差为,11,拉格朗日自相关数：,有两种极端情况,12,（1）扩散时间很短,很小，,在扩散初期，扩散的发展与时间t成正比。,（2）扩散时间很长,达到某一时刻t*后，可认为已无相关， 即t=t*时，RL() 0，当tt*时，,13,当t很大时，忽略右边第二项，令：,拉格朗日积分时间比尺。,或,在扩散发展很久之后，扩散的发展与 成正比。,紊动扩散系数：,14,拉格朗日扩散长度比尺,在tTL后，紊动质点运动为随机运动， 紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律。,15,4.5.2两质点的相对扩散,有些问题还需要研究质点间相对位置关系。如两点间距大于紊动的长度积分比尺，则两点将各自独立游动，互不影响，如小于紊动的长度积分比尺，将受到部分紊动的影响。

4、,设两质点和的速度为v和v，相对速度w= v-v， 各自位移为 和 ,相对位移 :,16,相对扩散距离的均方值：,s两点间距长度,相对扩散系数：,（a）,相对扩散速度：,变换：,17,改写：,从（a）得：,或,18,（1）扩散时间t很短,认为质点流速不变，保持t0时的值，,相对流速的相关,等于常数，,19,常数A1与s0的大小有关：,（1）当s0,柯尔莫戈罗夫紊动比尺,可认为紊动具有局部各向同性的性质，,（2）当s0,设Re大到足以有惯性小区的存在，认为紊动只取决于,20,（2）扩散时间t不短,当t增大到质点的运动已失去历史的影响时，s0已没有影响，同时认为还在惯性小区，影响因素只有,有,扩散速率按t1/2加速增大,相对扩散的4/3次方定律,21,（3）扩散时间t很长,当s很大，超过大尺度紊动范围，两点运动互不相关。,两点相对位移的均方值等于单个质点位移均方值的2倍。,当t很大时,结果：在各扩散阶段中，两个质点互相分开速度由不变而按t1/2增大，随后又按t-1/2降低,22,例：设在一均匀紊流内，在原点投入许多示踪质粒子，量测不同时刻粒子的横向位移Y，Y2的统计值 及通过原点后的时间t

5、的数值。试绘出 t的关系曲线，据以推算紊动扩散系数Dr。同时计算 及扩散长度比尺L。,23,曲线验证了单个质点紊动扩散不同阶段的规律。当t0.7s，线性关系良好。,由图b曲线扩散初期的线性关系：,扩散长度比尺：,24,4.6紊动扩散欧拉法,4.6.1紊流扩散方程,溶质浓度：c=c(x1,x2,x3,t),层流移流扩散方程：,紊流扩散方程,25,的物理意义：紊流中通过分别正交于xi轴的单位面积在单位时间内传输的紊动扩散量。,欧拉型紊流扩散方程,简化：,当ij时，Dij=0，,26,4.6.2紊动扩散系数,设扩散质沿x2方向，通过单位面积单位时间扩散质数量,t0为质点经过该单位面积的时刻；,t为从开始扩散算的扩散时间；,c(t0,t)为扩散质浓度。,27,在t时间内质点流动距离为Y2，由混合长度概念：,质点流速：,由费克定律：,28,1.当扩散时间较短，R()是时间函数，D也随时间变化。,讨论:,2.当扩散时间很长：,当扩散时间较长时，D与L成正比。,3.L是一个长度积分比尺，是衡量大尺度紊动的参数,可见，紊动扩散系数D主要取决于大尺度的旋涡运动。,29,4.7关于扩散方程的求解,（1）在

6、静止或均匀流动中的扩散,扩散方程可从一个固定点瞬时放入或连续放入扩散质， 求得一维、二维和三维解析解。,（2）剪切流中的一维纵向离散,采用过流断面上的平均流速和平均浓度计算，求得断面平均浓度沿纵向的分布。,（3）剪切流中的二维离散,（4）数值求解,（5）物理模型,30,4.8静止流体中瞬时源和连续源的扩散,4.8.1瞬时源的扩散,(1)集中投入的情况,在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M的扩散质， 分析t时刻在无界空间浓度分布。,一维分子扩散方程：,数学求解：量纲分析法。,浓度c(x1,t) 是M,x1,t,Dm的函数，与M成正比。,扩散系数Dm的量钢为L2/T ，选用Dmt为特性长度。,31,令：,代入：,通解为：,质量守恒,积分:,c0=1,基本解:,结果：浓度c沿x1轴的分布是正态分布,32,二维扩散：,令c(x1,x2,t)=c1(x1,t)c2(x2,t),上式只有当两个括号的量分别等于零才能满足，即c1和c2应满足瞬时源一维扩散的解。,扩散总质量：,基本解 ：,33,(2)空间上分布投入的情况,可考虑为若干个瞬时源的叠加，按叠加原理求解。,设沿x1轴上在x1=处d上面源的强

7、度：M()=f()d,34,起始时 ：c(x1,0)=f()，ax1b，,扩散作用叠加后，经时间t在x1处的浓度：,对于一阶函数，t=0时，f()=0(x10); f()= c0(x10),变换后：,35,误差函数：,性质： erf(-z)=-erf(z)；erf(0)=0；erf()=1,起始为台阶形分布的瞬时源的扩散,36,表： 误差函数及正态分布的积分,37,4.8.2连续源的扩散,连续源是指在时间上的连续扩散，即从某时刻t=0开始，在某处连续加入扩散质，求以后任何时刻空间中扩散值的浓度分布。,设扩散源于原点x1=0,当t=0,沿x1=0处浓度在瞬间突然升高为C0,从量纲分析出发，设,38,代入扩散方程，变换为一常微分方程,边界条件为f(0)=1,f()=0,因C(-x1,t)=c(x1,t),可只沿+x1轴求解，得,39,给定连续加入的扩散的量 ，而且是变化的，可以看作无数不同的强度的瞬时源产生的时间上叠加的结果，然后进行零到t 的时间积分。 设在时间微时段加入的扩散质为如图所示，则经历（t- ）时间扩散的产生的浓度为,40,连续源分布在沿x1轴一定范围ax1b内,于时刻 在d

8、 时间内加入的扩散质的量为 ，一维扩散时间经时间（t- ）在x1处的浓度为,对于连续源的二维、三维扩散，原则上也可按上述方法看作无数个相应瞬时源扩散的叠加，用相应瞬时源的浓度分布公式进行时间积分计算。,41,等强度连续点源的三维扩散,瞬时点源扩散,在静止流体中各向同性扩散情况，D1=D2=D3=Dm,42,于时刻 在d 时间内加入的扩散质的量为m ，经历（t- ）时间在r处的浓度为,从起始到t时间在位置r产生的浓度为上式的时间积分,43,44,4.9 均匀紊乱中的扩散,代入:,单向的均匀流动中，即各处流速均匀u1=U,u2=u3=0,设:,得:,45,4.9.1均匀紊流中顺时源扩散的浓度分布,1.瞬时（面）源的一维扩散,浓度解:,46,2.瞬时（线）源的二维扩散,浓度解:,47,3.瞬时（点）源的三维扩散,浓度解:,48,4.9.2均匀紊流中连续源扩散的浓度分布,1.连续源的一维扩散,浓度解:,49,2.连续源的三维扩散,50,转换为三维浓度时,51,3.连续源的二维扩散,4.连续源的非稳定扩散,52,4.10 有边界反射的扩散,4.10.1 固定边界的反射,53,54,4.10.2

9、大气中扩散的逆温层反射,U,大气混合层,逆温层,虚拟源,实际源,虚拟源,地面,H,L,X1,55,在x1,x3立面的上产生的浓度为,两种作用综合结果,式中t=x1/U。取n=0,0, 1, 2计算已足够精确。 求地面浓度时取x3=0代入即得。,56,例题: 在室内水槽进行扩散试验，设水槽右端为封闭，左端很长。在水槽具右端10m的断面A-A以平面源方式瞬时投放示踪剂。计算投放后10分钟在距右端5m的B-B断面及在A-A断面左边10m的C-C断面上的示踪剂浓度。投放量M=1kg/m2。已知扩散系数为200cm2/s。计算中要考虑右端边界反射。若不计边界反射，B-B断面及C-C断面浓度又为多少？,57,解Dt=200cm2/s=1.2m2/min (1)考虑右端的反射作用，浓度计算式为,右端边界距投放源L=10m B-B断面x=5m,58,C-C断面 x=-10m,(2)若不考虑边界的反射作用，浓度计算式为,B-B断面,C-C断面,59,例题:某平直均匀河段，宽W=60m，深h=3m，流量QR=140m3/s。污水出口在河中心，其流量Qp=0.7m3/s,浓度c0=500ppm,河宽远大于水深，污染源近似看作连续集中线源，设横向扩散系数Dty为0.054m2/s。试求： （1）以c(x,b)=0.05c(x,o)来定义污水场宽b(x)的表达式；（2）当b=W/2时的距离x值即此处的最大浓度cmax; （3）若污染源在岸边，将如何变化？,60,解已知河宽W=60m,水深h=3m，河流流量Qr=140m3/s,设为均匀紊流，则流速U=Qr/A=140/(3*60)=0.78m/s,污水河流Qp=0.7m3/s,浓度c0=500ppm,横向扩散系数Dty=0.054m2/s,看作垂向连续集中线源，其二维扩散的浓度分布表达式,现x1=x,x2=y,D=Dty,上式写为,61,考虑两边边界一次反射,

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