数学物理方程ppt

1、出 版：电子科技大学出版社(成都市建设北路二段四号，邮编：610054) 责任编辑：徐守铭 发 行：电子科技大学出版社 印 刷：成都蜀通印务有限责任公司 开 本：787mm1092mm 1/16 印张 16.625 字数 425千字 版 次：2006年4月第一版 印 次：2007年8月第二次印刷 书 号：ISBN 9787811140989 印 数：20015000册 定 价：28.00元,数学物理方程 李明奇 田太心 主编, 版权所有 侵权必究 邮购本书请与本社发行科联系。电话：(028)83201495 邮编：610054。 本书如有缺页、破损、装订错误，请寄回印刷厂调换。,目 录,第一章 绪论 笫二章 定解问题与偏微分方程理论 第三章 分离变量法 第四章 行波法 第五章 积分变换 第六章 Green函数法 第七章 Bessel函数 第八章 Legendre多项式 第九章 保角变换法 第十章 非线性数学物理方程简介,第一章 绪论,1.1 常微分方程基础 1.2 积分方程基础 1.3 场论基本概念 1.4 常用算符与函数 1.5 常用物理规律,1.1 常微分方程基础,一、一阶微分方程

2、,一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为:,1可分离变量的一阶微分方程,2齐次方程,3一阶线性微分方程,4Bernoulli方程,二、高阶微分方程,1可降阶的二阶微分方程,2n阶常系数齐次线性微分方程,定理1 的特解可以通过方程 的特解之和求得。,（1）特征方程有n个不同的实根 ，则 ， 为任意常数； （2）特征方程有r个不同的实根 ，其重数分别为 ， ，则 其中， 为任意常数。 （3）若 ，特征方程有r个不同的复根 （ ），其重数分别为 ，所有复根重数之和为，则,定理2 n阶常系数齐次线性微分方程的通解为：,3二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,设 为 对应的齐次方程的i ( )重根，其中， 与 分别是次多项式， 为常数。则存在次多项式 使非齐次方程有如下形式的特解：,定理3:,与 分别是 次多项式， 与 为常数， 则 的特解为：,定理4:,二阶非齐次线性微分方程,定理5:,的特解为,通解为,三、Euler方程,在微分方程中，我们还经常遇到一类特殊的非常系数非齐次线性微分方程Euler方程的求解：,四、Bessel方程,定义2 二阶线性微分方程,称为Bessel方程， 为非负常数。,

3、定义4 二阶线性微分方程,称为半奇数阶Bessel方程。,(m为整数),定义5 二阶线性微分方程,称为虚宗量Bessel方程。,五、Legendre方程与SturmLiouville方程,定义6 二阶线性微分方程,称为n阶Legendre方程。,定义7 二阶线性微分方程,称为SturmLiouville方程。,六、微分方程解的理论基础,定义8 对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：,定义9 对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：,设为 方程 的平凡解，若 ，当 时，对 ，有 ，则称 解稳定。,定义10:,定义11:,设 为方程 的平凡解，若 ，当 时， ，有 ，则 称解不稳定。,1.2 积分方程基础,定义1 积分号下含有未知函数的方程称为积分方程。若方程关于未知函数是线性的，则称之为线性积分方程；否则该积分方程称为非线性积分方程。 定义2 若未知函数只出现在积分号下，称为第一类线性积分方程；若未知函数不仅出现在积分号下，还出现在其他部分，则称为第二类线性积分方程。,定义3 若含参数齐次方程 ，在 有非零解，则 称为特征值，相应的解为特征函数。特征函数构成的空间称为线性空间，

4、其维数称为 的重数。,定理1 若 在 ， 在 内都连续，且 ， ， 。级数 在 一致绝对收敛，并且为方程 的唯一解。,定义4 若 ， 与 都线性无关，则 称为退化核。 为退化核，则方程 变为 代入原方程得,1.3 场论基本概念,一、散度与通量,设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量为 ，则向量场 沿曲面S的第二类曲面积分,称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。,如果S是一分片光滑的闭曲面，为外法向，V为S所包围的空间区域，由Gauss公式有,其中， 称为向量场的散度，记为 ，即,二、环流量与旋度,对于给定向量场,设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的单位切向量为 ，则称积分,为向量场沿有向闭曲线L的环流量。,设S是以L为边界的有向曲面，曲线L的方向与曲面S的侧符合右手规则，由Strokes公式，有,其中，向量 为有向曲面S的单位法向量 的方向余弦，向量场的旋度记为 ，且,旋度是一个向量，它是由向量场产生的向量场，称为旋度场。,1.4 常用算符与函数,一、常用算符,求导算子D：,梯度算子 与Laplace算子 是两个最基本的算符：,设为向量场， 为数值函数，则有以下公式：,定理1

5、 设平面区域D由分段光滑的闭曲线L围成，函数 、 在L上具有一阶连续偏导数，则有Green公式：,式中，L的方向为区域D边界曲线的正向。,定理2 设曲线L为分段光滑的空间有向闭曲线，S为以L为边界的任意分片光滑的有向曲面。函数 、 、 在包含S的某一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有Strokes公式,定理3 设分片光滑的有向闭曲面围成空间区域V。函数 、 、 在V上具有一阶连续偏导数，则有Gauss公式：,式中，S为空间区域V的外侧。,二、 函数、函数与误差函数,1 函数是指,2函数是指,函数的主要性质有：,3误差函数是指,余误差函数是指,主要性质有：,三、常用结论,命题1 ，其球坐标表示为 。n为以原点为球心，半径为r的球面的外侧，则,命题2,1.5 常用物理规律,1Newton第二定律。平动规律： ；转动规律： 。 2Hooke定律。 （1）在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧的伸长成正比： 。其中，k为弹簧的弹性系数。负号表示弹力的方向和形变量的方向相反。 （2）弹性体的应力p与弹性体的相对伸长成正比： 。其中，Y为杨氏模量，表示相对伸长。,3Fourier实验定律（即热传导定律）

6、。当物体内存在温差时，会产生热量的流动。在dt时间内，沿热流方向流过面积微元dS的热量为，其中k称热传导系数，它与物体的材料有关；式中的负号表示热量由高处流向低处；为温度沿热流方向的方向导数。热流密度q为,4Newton冷却定律。设 为周围介质的温度， 为物体的温度。物体冷却时单位时间内流过单位面积放出的热量与物体和外界的温度差（ ）成正比，即热流密度q为 。 5热量守恒定律。物体内部温度升高所吸收的热量，等于流入物体内部的净热量与物体内部的源所产生的热量之和。,6扩散实验定律。当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动。沿粒子流方向流过面积微元dS的粒子质量为 ，其中k称为扩散系数，它与材料有关；负号表示粒子流由浓度高处流向低处， 为温度沿热流方向的方向导数。粒子流密度q为 。 7电荷守恒定律。电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。,8Coulomb定律。放置于坐标原点的电量为e的点电荷所产生电场（介电常数为）的电位势为 。 9Gauss定律。通过一个任意闭合曲面的电通量，等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量的倍。即 。其

7、中， 为介电常数， 为体电荷密度。,10JouleLenz定律。电流通过纯电阻的一导体时所放出的热量跟电流强度的平方、导线的电阻和通电的时间成正比。即 。 11Kirchhoff定律。 （1）第一定律。会合在节点的电流代数和为零，即 。 （2）第二定律。沿任一闭合回路的电势增量的代数和为零，即 。,12Faraday电磁感应定律。不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率的负值成正比，即 式中，N为感应回路串联线圈的匝数。此即Faraday电磁感应定律。由该定律知，当闭合回路（或线圈）中的电流发生变化而引起自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为 式中，L为自感系数。,2.1 波动方程及定解条件 2.2 热传导方程及定解条件 2.3 稳态方程的定解问题 2.4 方程的化简与分类 2.5 二阶线性偏微分方程理论 2.6 函数,笫二章 定解问题与偏微分方程理论,2.1 波动方程及定解条件,一、波动方程的建立,细弦线横振动问题。 设有一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰动，开始沿x轴（平衡位置）上

8、下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于x轴）。试建立细弦线上任意点位移函数所满足的规律。,二、定解条件,1初始条件,波动方程含有对时间的二阶偏导数。因此，一般要给出两个初始条件。对于做机械运动的物体，其初始条件可以从系统各点的初位移和初速度考虑，即,2边界条件,描述物理问题在边界上受约束的状态， 归结为三类边界条件。 （1）第一类边界条件：给出未知函数u在边界上的分布值。例如，长为L的细弦线横振动，细弦线的两端固定在原点和x轴的L处，其边界条件为 ，称固定端。 （2）第二类边界条件：给出未知函数u在边界上的法向导数值。 （3）第三类边界条件：第一类和第二类边界条件的线性组合。,2.2 热传导方程及定解条件,一、热传导方程,细杆的横截面积为常数A，又设它的侧面绝热，即热量只能沿长度方向传导，由于细杆很细，以致在任何时刻都可以把横截面积上的温度视为相同，密度为。试求细杆的温度分布规律。,二、扩散方程的建立*,设半导体材料每点的横截面积相等，其值为A；在这块材料中，有一种杂质正在扩散，我们用u表示杂质浓度，即单位体积内所含杂质的质量；由于各个横截面上杂质的浓度不一样，而且它又是随时间改变的（设同一时间同一横截面上各点处的浓度是相同的），所以浓度u既是位置x的函数，又是时间t的函数，即 。求 满足的规律。,三、定解条件,1初始条件,热传导方程含有对时间的一阶偏导数，故只要一个初始条件初始时刻的温度分布。,2边界条件,（1）第一类边界条件，给定温度在边界上的值。若细杆在x=0端保持为零度， 端保持为 度，则有： ， 。 （2）第二类边界条件，给定温度在边界上的法向导数值。 （3）第三类边界条件，给定边界上温度与温度的法向导数的线性关系

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