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初中数学证明题辅助线典型做法

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常见问题

1、经雪山阿莲整理的数学材料八年级数学培优训练题补形法的应用班级_ 姓名_ 分数_一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。略证：2.补成等腰三角形例2 如图2.已知A90，ABAC，12，CEBD，求证：BD2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证BDCF即可。略证：3.补成直角三角形图3例3.如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，F、G分别是AD、BC的中点，

2、若BC18，AD8，求FG的长。分析：从B、C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。略解：4.补成等边三角形例4.图4，ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AEBD，连结CE、ED。证明：ECED分析：要证明ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BFBE，连结EF。略证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。略证： 2.补成矩形例6.如图6，四边形ABCD中，A60，BD90，AB200m，CD100m，求AD、BC的长。图6分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。略解：3.补成菱形图7例7.如图7，凸五边形ABCDE中，A=B120，EAABBC2，CDDE4，求其面积分析：延长EA、CB交于P

3、，根据题意易证四边形PCDE为菱形。略解：4.补成正方形图8例8.如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC45，BD3，DC2。求ABC的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC45，ADBC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。略解：5.补成梯形图9例9如图9，已知：G是ABC中BC边上的中线的中点，L是ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1 (2AA1BB1CC1)。分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。略证：三、练习1、在ABC中，AC=BC，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BE平分ABC。ABQCP2、如图，已知：在ABC内，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP3、已知：BAC=90，AB=AC，AD=DC，AEBD，求证：ADB=CDEABCDE ABCPM4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和，求：St的值。第 4 页共 4 页

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