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公式法与根的判别式

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常见问题

1、八年级数学学科总计 20 课时第 5 课时课题求根公式与根的判别式教学目标：1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.教学重点：1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.教学难点：1、正确理解“当时，方程无实数根.2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.一、学习新知，推导公式我们以前学过的一元一次方程（其中a、b是已知数，且a0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a、b表示为，那么对于一元二次方程（其中a、b、c是已知数，且a0），它的根情况怎样？能不能用已知数a、b、c来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.用配方法解一元二次方程解：移常数项方程两边同除以二次项系数（由于a0，因此不需要分类讨论）两边配上一次项系数一半的平方转化为的形式注：在我们以前学过的一元二次

2、方程中，会碰到有的方程没有实数解。因此对上面这个方程要进行讨论因为（1）当时，。利用开平方法，得则所以，（2）当时，。在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。一元二次方程，当时，它有两个实数根：（）这就是一元二次方程的求根公式.问题：1、在求根公式中，如果时，根的情况如何？2、如何用求根公式求一元二次方程的根？解答：1、如果，那么方程有两个相等的实数根，即.2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果，那么可代入公式求出方程的根，如果，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做公式法.二、根的判别式：利用求根公式，可以解任何一个一元二次方程.（1）当时，方程的根是.（2）当时，方程的根是.（3）当时，方程没有实数根.提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？1、定义：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作=.2、一元二次方程，当=时，方程有两个不相等的实数根；当=时，方程有两个相等的实数根；当=时，方程没有实数根.例题精讲：例1：用公式法解下列方程：（1）（2）注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一

3、般式确定a、b、c的值，并且注意a、b、c的符号。例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）；（2）；（3）.例3、关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗?为什么？三、一元二次方程两根之间的关系：（韦达定理）当一元二次方程有实数解例4：已知是一元二次方程的两个根，求的值。四、与根的判别式相关的证明题：例5：已知、是ABC的三边长，求证：关于x的方程没有实数根。巩固练习一、填空题：1、运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般式，接着确定的值，然后求出，最后代入。2、方程中，。3、若代数式与的值互为相反数，则x的值为。4、当x= 时，与既是最简根式又是同类二次根式。5、一元二次方程的根的判别式的值等于。6、不解方程，判定方程是实根的个数为。7、方程，当m= 时，是关于x的一元二次方程，它的根的判别式= 。8、已知方程有两个相等的实数根，则m的值为。二、求下列方程中的值：1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、三、不解方程，判断下列方程根的情况：1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、四、用公式法解下列方程：1、 2、 3、 4、5、 6、7、 8、9、 10、11、 12、五、解答题：1、判断关于x的方程的根的情况。2、关于x的方程一定有实根吗？为什么?3、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。能力提高一、不解方程，判定下列方程根的情况1、 2、3、 4、二、用公式法求关于x的方程的解1、 2、3、 4、二、解答题：1、关于x的方程一定有实数根吗？为什么？2、若t是非负整数，且一元二次方程有两个实数根，求t的值及对应方程的根。思维拓展1、求证：关于x的方程的两根中一个大于a，另一个小于a.第 9 页共 9 页

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