2018年秋高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用学案 新人教a版必修5

1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标：1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)自 主 预 习探 新 知1等比数列前n项和的变式当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比q1时，因为a10，所以Snna1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)思考：在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k，则实数k的取值是什么？提示由题an是等比数列，3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为，k.2等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(Aq0，q1)，则数列an是等比数列性质二：若数列an是公比为q的等比数列，则在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则q.Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列思考：在等比数列an中，若a1a220，a3a440，如何求S6的

2、值？提示S220，S4S240，S6S480，S6S480S24080140.基础自测1思考辨析(1)等比数列an共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q2.()(2)已知等比数列an的前n项和Sna3n11，则a1.()(3)若数列an为等比数列，则a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)提示：(1)q；(2)由等比数列前n项和的特点知a1得a3；(4)由S3，S6S3，S9S6成等比数列知(4)错误2已知数列an为等比数列，且前n项和S33，S627，则公比q_.2q38，所以q2.3若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_. 【导学号：91432227】(2)n1当n1时，S1a1，所以a11.当n2时，anSnSn1an(anan1)，所以an2an1，即2，所以an是以1为首项的等比数列，其公比为2，所以an1(2)n1，即an(2)n1.4设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.35设两等差数列组成

3、的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735，即a5b535.合 作 探 究攻 重 难等比数列前n项和公式的函数特征应用已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列an() 【导学号：91432228】A一定是等差数列B一定是等比数列C是等差数列或等比数列D既非等差数列，也非等比数列B当n2时，anSnSn1(a1)an1；当n1时，a1a1，满足上式an(a1)an1，nN*.a，数列an是等比数列规律方法（1）)已知Sn通过an求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1.（2）若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列.跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.等比数列前n项和性质的应用探究问题1在等差数列中，我们知道Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等差数列在等比数列an中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列吗？为什么？提示：Sm，S2mSm，S3mS2m，

4、仍组成等比数列在等比数列an中有amnamqn，Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1qma2qmamqm(a1a2am)qmSmqm.同理S3mS2mSmq2m，在Sm0时，Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列2若数列an为项数为偶数的等比数列，且S奇a1a3a5，S偶a2a4a6，那么等于何值？提示：由等比数列的通项公式可知q.(1)等比数列an的前n项和为Sn，S27，S691，则S4为()A28B32C21D28或21(2)等比数列an中，公比q3，S8032，则a2a4a6a80_【导学号：91432229】思路探究：(1)由S2，S4S2，S6S4成等比数列求解(2)利用 q，及S2nS奇S偶求解(1)A(2)24(1)an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，即7，S47,91S4成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2，S428.(2)设S1a2a4a6a80，S2a1a3a5a79.则q3，即S13S2.又S1S2S8032，S

5、132，解得S124.即a2a4a6a8024.母题探究：1.(变条件)将例题(1)中的条件“S27，S691”改为“正数等比数列中Sn2，S3n14”求S4n的值解设S2nx，S4ny，则2，x2,14x，y14成等比数列，所以所以或(舍去)，所以S4n30.2(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q3，S8032”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的，又它的首项为，且中间两项的和为”求此等比数列的项数解设等比数列为an，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，q.则q，又an和an1为中间两项，则anan1，即a1qn1a1qn，又a1，q，n1nn1n6.项数为2n12.则此等比数列的项数为12.规律方法1在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算若项数为2n，则q(S奇0)；若项数为2n1，则q(S偶0)2等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn(q1).分组求和法已知数列an构成一个新数列：a1，(a2a1)，(anan1)，此数列是首项为1，公比为的等比数列(1)求数列an的通项公

6、式；(2)求数列an的前n项和Sn.思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列的前n项和，数列an的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了解(1)ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)12n1.(2)Sna1a2a3ann(2n1)n1.规律方法分组转化求和法的应用条件和解题步骤：(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成(2)解题步骤跟踪训练2求数列2，4，6，2n，的前n项和Sn.【导学号：91432230】解Sn246(2462n)n(n1).当 堂 达 标固 双 基1设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5等于()A34B23C12 D13A设S52k(k0)，则S10k，S10S5k.由S5，S10S5，S15S10成等比数列得S15S10k，于是S15k，S15S5k2k34.2等比数列an的公比为q(q1)，则数列a3，a6，a9，a3n，的前n项和为()【导学号：91432231】A. B.C. D.C等比数列中，序号成等差数

7、列，则项仍成等比数列，则a3，a6，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为q3，再用等比数列的前n项和公式求解，即Sn，故答案为C项3(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.63通解因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632.所以S61248163263.优解因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.4数列，的前n项和为_. 【导学号：91432232】n1通项an1前n项和Snnn1.5设等比数列an的前n项和为Sn，已知S42，S86，求a17a18a19a20的值解由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为S42，公比为2，故S4nS4n42n(n2)，所以a17a18a19a20S20S162532.- 7 -

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