2018年秋高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和学案 新人教a版必修5
9页1、第1课时等比数列的前n项和学习目标:1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题自 主 预 习探 新 知1等比数列前n项和公式等比数列的前n项和公式思考:类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数,如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?提示可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数2错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地,等比数列an的前n项和可写为:Sna1a1qa1q2a1qn1, 用公比q乘的两边,可得qSna1qa1q2a1qn1a1qn, 由,得(1q)Sna1a1qn,整理得Sn(q1)(2)我们把上述方法叫错位相减法,一般适用于数列anbn前n项和的求解,其中an为等差数列,bn为等比数列,且q1.思考:等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗?提示根据等比数列的定义,有:q,再由合比定理,则得q,即q,进而可求Sn.基础自测1思考辨析(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn来求()(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为S
2、nna.()(3)若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0,q0且q1,nN*),则此数列一定是等比数列()答案(1)(2)(3)提示:(1)错误在求等比数列前n项和时,首先应看公比q是否为1,若q1,可直接套用,否则应讨论求和(2)正确若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n项和为Snna.(3)正确根据等比数列前n项和公式Sn(q0且q1)变形为Snqn(q0且q1),若令a,则和式可变形为Snaaqn.2等比数列an中,a11,q2,则S5_.31S531.3数列,的前10项的和S10_.【导学号:91432215】S10,则S10.两式相减得,S10,所以S10.4某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为_11(1.151)a去年产值为a,从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a1.12a1.13a1.14a1.15aa11(1.151)a.合 作 探 究攻 重 难等比数列基本量的运算在等比数列an中,(1)S230,S3155,求Sn;(2)a1a
3、310,a4a6,求S5;(3)a1an66,a2an1128,Sn126,求q. 【导学号:91432216】解(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn.(2)法一由题意知解得从而S5.法二由(a1a3)q3a4a6,得q3,从而q.又a1a3a1(1q2)10,所以a18,从而S5.(3)因为a2an1a1an128,所以a1,an是方程x266x1280的两根从而或又Sn126,所以q为2或.规律方法1在等比数列an的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用2在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q1或q1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论跟踪训练1在等比数列an中,(1)若a1,an16,Sn11,求n和q;(2)已知S41,S817,求an.【导学号:91432217】解(1)由Sn得11,q2,又由ana1qn1得16(2)n1,n5.(2)若q1,则S82S4,不合题意,q1,S41,S817,两式相除得171q4,q2或q2,a1或a1,an2n1或(2)n1.等比数列前n
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