2018年秋高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的综合应用学案 新人教a版必修5
9页1、第2课时等差数列前n项和的综合应用学习目标:1.掌握an与Sn的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点).3.会求等差数列前n项和的最值(重点).4.会用裂项相消法求和(易错点)自 主 预 习探 新 知1Sn与an的关系an2等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中,其前n项和为Sn,则an中连续的n项和构成的数列Sn,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n,构成等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a,b为常数)思考:如果an是等差数列,那么a1a2a10,a11a12a20,a21a22a30是等差数列吗?提示(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d,类似可得(a21a22a30)(a11a12 a20)100d.a1a2a10,a11a12a20,a21a22a30是等差数列3等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值(2)若a10,d0,d0,则S1是Sn的最小值;若a10,d0,则S1是Sn的最大值思考:我们已经知道当公
2、差d0时,等差数列前n项和是关于n的二次函数Snn2n,类比二次函数的最值情况,等差数列的Sn何时有最大值?何时有最小值?提示由二次函数的性质可以得出:当a10时,Sn先减后增,有最小值;当a10,d0,d0,则等差数列中所有正项之和最大()(3)在等差数列中,Sn是其前n项和,则有S2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)2在项数为2n1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于()A9B10C11 D12B,.n10.故选B项3等差数列an中,S24,S49,则S6_.15由S2,S4S2,S6S4成等差数列得2(S4S2)S2(S6S4)解得S615.4已知数列an的通项公式是an2n48,则Sn取得最小值时,n为_.【导学号:91432176】23或24由an0即2n480得n24.所有负项的和最小,即n23或24.合 作 探 究攻 重 难等差数列前n项和的性质(1)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求数列an的前3m项的和S3m;(2)两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,已知,求的值解(1)在等差数列中,Sm,
3、S2mSm,S3mS2m成等差数列30,70,S3m100成等差数列27030(S3m100),S3m210.(2).规律方法等差数列前n项和计算的几种思维方法(1)整体思路:利用公式Sn,设法求出整体a1an,再代入求解.( (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设SnAn2Bn(A0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设anb(a0)进行计算.跟踪训练1(1)等差数列an中,a2a7a1224,则S13_.【导学号:91432177】(2)等差数列an的通项公式是an2n1,其前n项和为Sn,则数列的前10项和为_(1)104(2)75(1)由a2a7a1224,得a78,所以S1313a713104.(2)因为an2n1,所以a13.所以Snn22n,所以n2,所以是公差为1,首项为3的等差数列,所以前10项和为310175.等差数列前n项和Sn的函数特征探究问题1将首项为a12,公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数,那么这个函数有什么结构特征?如果一个数列的前n项和为Sn3n2n,那么这个数列是等差数列吗?上述结论推广到一般情况成立吗?提示:
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